y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点
已知波源的振动
x x0处 前进波 x x0处 后退波
y(x0 ,t) Acos(t 0 )
y( x, t )
A cos[ (t
x
x0 u
)
0
]
y( x, t )
A cos[ (t
x
x0 u
)
0 ]
注意: 振动方程与波函数的区别
x A cos(t )
x f (t ) x
x为振动位移,是时间 t 的函数 o
u cos(t 2
) 0 ]
x
0
Acos[2 ( t
T
) Acos(t
x)
kx
0
0 )
]
注意：a) x为正、负，均适用； b)对横、纵波均适用；
2、从无穷远处来到无穷远处去
已知 x x0的振动 y(x0 ,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程:
y( x, t )
Acos[(t x
u Acos(t 2
) 0 ]
x
0
Acos[2 ( t
T
) Acos(t
x
)
0
kx 0)
]
注意：a)不论x为正、负，均适用； b)对横、纵波均适用；
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（2）后退波（波沿X轴负方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去,沿X轴
y[0, (t
t )]
A cos[ (t
x) u
0 ]
ii)相位法
点 P 比点 O 落后的相位
2π x
点 P 振动方程：
A y u
P
x
Ox *
A
y(x,t) Acos(t 0 )
A cos( t
2
x
0 )
平面简谐波前进波的波函数（表达式、波函数、波动
方程、运动学方程）：
y(
x,
t)
求波线上任意位置x处质点的振动方程:
y( x, t )
u
（2）后退波
y(x,t) y(x0 ,t t)
o·····x·0·······x····x
y(x0 ,t
x x0 ) u
A cos[ (t
x
x0 u
)
0
]
Acos[2 ( t
T
x
x0
)
0 ]
A cos( t
2
x
x0
0 )
3、已知真实波源的振动，波源在原点
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos2π [(2.50s-1)t (0.01cm-1)x]
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
A
cos[ (tx u) Nhomakorabea0
]
ii)相位法
A y u
点 P 比点 O超前的相位
P
x
2π x
Ox *
A
点 P 振动方程：
y( x, t )
A cos( t
0
)
A cos( t
2
x
0 )
平面简谐波后退波的波函数（表达式、波函数、波动
方程、运动学方程）：
y( x, t )
A A
cos[(t x
轴正向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程 y(x,t)。
解: X处的振 动规律y(x,t) 与原点的振动 规律的关系：
i)时间法
点O 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
t x u
点P
t-x/u时刻点O 的运动
y( x, t )
（1）前进波
y(x,t) y(x0 ,t t)
o···· ·x·0······u ·x····x
y(x0
,t
x
x0 u
)
Acos[(t
x
u
x0
)
0
]
Acos[2 ( t
T
x
x0
)
0
]
Acos(t 2
x x0
0 )
2、从无穷远处来到无穷远处去
已知 x x0的振动 y(x0 ,t) Acos(t 0 )
为某一时刻各质点的振动位移，给这列波拍的“照片”
y t 0
y t T /4
o
x
o
x
y t T /2
o
x
y t 3T / 4
o
x
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].
解：方法一（比较系数法）.
y Acos2π ( t x )
t
x 为波线上各质元的平衡 位置，y 为 t 时刻 x 处质 点振动位移，波函数是x 和 t 的函数。
y f (x,t)
y
o
x
y
A
cos
t
x u
二、波函数的物理意义
y
A
cos
t
x u
1.当 x x0（常数）时，
y
y f (t )
o
t
为波线上 x0处质点的振动方程。
2.当 t c （常数）时， y f (x )
负向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程 y(x,t)。
解: X处的振动规律y(x,t) 与原点的振动规律的关系：
i)时间法
t x
P点 的振动状态
u
原点
t 时刻点 P 的运动
t+x/u时刻点O 的运动
y(x,t)
y[0, (t t)]