2 0
k12m12
2 0
0
k22m22
2 0
0 2[M ][K]0 特征方程
上述方程可求得两个根 01 、02
对于 01
可求得
A 11 A 21
,
对于 02
可求得
A 12 A 22
3.多自由度无阻尼线性系统
系统运动方程： M x K x 0 xRn
方程解为： x A si 0 n t ()
有阻尼自由振动的解 瞬态解
瞬态响应 逐渐衰减
稳态振动的解 稳态解 稳态响应
持续等幅振动
系统的瞬态响应：
系统的稳态响应：
系统的全响应：
x (t ) x0
稳态响应 全响应
0
t
经过充分长时间后，瞬态响应消失，只剩稳态强迫振动 。
对连续体的通用运 动 方程 M x C x K x F
A
[1(/n)2]2(2/n)2
arctan12(//nn)2
分析上式可得出如下的结论：
单自由度线性系统在谐波激励下的响应仍然是谐波。
响应频率等于激励频率。
振幅X与激励的幅值A成比例。 相位差 表示响应滞后于激励的相位角。
系统的全解为：
x ( t) C e n tc o s (d t ) A H ()c o s (t )
代入振动方程：[K]02[M]0 特征方程
即：
k112m11 k122m12 k1n 2m1n
k212m21 k222m22 k2n 2m2n 0
kn12mn1 kn2 2mn2 knn2mnn
0 2 n a 10 2 ( n 1 ) a n 10 2 a n 0频率方程或特征多项式
在outline中的Solution中选择Total Deformation(总变形) ，会显示一阶模态总变形分析云图，下图为模型的六阶 模态总变形分析云图
六阶模态总变形分析云图
一阶预拉应力振型
二阶预拉应力振型
三阶预拉应力振型
四阶预拉应力振型
五阶预拉应力振型
六阶预拉应力振型
前五阶模态频率
没有预应力
Ansys Workbench 结构动力学分析
主要内容
4.1: 动力学绪论
第一节 动力学分析概述 第二节 动力学研究内容 第三节 动力学分析的类型 4.2: 模态分析
第一节 模态分析的含义 第二节 结构动力运动方程 第三节 模态分析步骤
4.3: 谐分析
第一节 谐分析目的 第二节 术语和概念 第三节 谐分析步骤
单地用简谐函数来表示。
FP
t
（3）冲击荷载 荷载的幅值(大小)在很短时间内急剧增大或急剧减小。
FP
冲击荷载
t
FP
突加荷载
t
（4）随机荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷载。
风荷载 地震作用
25Wind speed (m/s) 0
50
100
150
脉动风
平均风
200
250
确定结构的动力反应规律。
安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力 ，作为强度设计的依据； 舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规 范的许可值)。
结构动力体系
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
静力响应
输入 input
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
输出 Output
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
第二节 结构动力运动方程
1.单自由度无阻尼线性系统
Newton第二定律
Fma
a x
系统的运动方程
m x k x0令
x02x0
2 0
k m
，则方程变为
无阻尼自由振动解的形式为：
x(t)Acon st ()
其中A与 由初始条件决定
A为系统的响应的振幅， 为系统的初相位
n
k m
为系统的固有圆频率，弧度/秒
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
第三节 动力学分析类型
1.动荷载 静荷载：
动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变化或变化很 缓慢的荷载。如：结构的自重、雪荷载等。
– 前处理
（1）添加材料库：根据实际需求选择或添加所需材料，添加 材料时需定义材料密度、泊松比、杨氏模量等。
（2） 添加材料
（3）网格划分
整体单元控制：单元尺寸为10mm 局部单元控制：两根角钢上的四个圆孔控制划分边长为10单元
（4）施加载荷约束
选择8个圆柱面，添加圆柱约束，径向固定，轴向固定，切向自由
大小、方向或作用点随时间变化很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度 。
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比 是否可以忽略
问题：你知道有哪些动荷载 ？
第一章：结构动力学基础
（1）简谐荷载 荷载随时间周期性变化，并可以用简谐函数来表示
。
FP
t
（2）一般周期荷载 荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不能简
双击主界面Toolbox中的Custom System Pre-Stress Modal（ 预应力模态分析），同时创建分析项目A(静力分析)及项目B(模态 分析)，并导入几何体。
– 前处理
（1）添加材料库，将模型的材料设置为Stainless Steel(不锈钢) （2）划分网格，将Element Size设置为100mm
4.1: 动力学绪 论
第一节 动力学分析目的及定义 为什么要对结构进行动力学分析？
土木建筑、地质工程领域
1940年11月7日倒塌—风载
1940年7月1日通车 美国塔科曼悬索大桥
交通运输、航空航天领域
机械、机电领域
什么是结构动力学？
定义：研究结构在动力荷载作用下的动力反应 。
目的：动力荷载作用下结构的内力和变形；
t(sec) 300
Acceleratio2n (cm/s )
400
200
0
-200
t(sec)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2.动力学分析类型 （1）简谐荷载
谐响应分析
（2）一般周期荷载
谐波分析
（3）冲击荷载 （4）随机荷载
瞬态分析 谱分析
模态分析
3.分析类型的选择原则
（1）如果在相对较长时间内载荷是一个常数，可选择静力 分析，否则为动态分析。 （2）如果动荷载频率小于结构最低阶固有频率的1/3，可进 行静力分析。 （3）载荷对结构刚度的变化可忽略时，可进行线性分析。 （4）载荷引起结构刚度的变化很显著时，或应变超过弹性 范围，或两物体间存在接触，必须进行非线性分析。
4.2: 模态分析
第一节 模态分析的含义
什么是模态分析?
模态分析是用来确定结构的振动特性（固有频率和振型 ）的一种技术。 模态分析的好处：
– 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如 扬声器）；
– 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷 是如何响应的。
建议： 在准备进行其它动力分析之前首先要进行
8 faces
– 求解及后处理
一阶模态
二阶模态
四阶模态
五阶模态
三阶模态 六阶模态
有预应力的模态分析
实例 – 目标: 在这个练习，我们的目标是研究受拉力的悬臂 梁（如下图所示）的模态，得到其振动特性。
10000
– 已知条件 悬臂梁材料为不锈钢。 所受拉力F=108N
1000
F
1000
单位：mm
– 建立项目
（3）施加载荷与约束
为模型的端面添加固定约束，并施加力载荷（Force） ，大小为108N
– 模态分析 在outline中的Modal选项中右击，在弹出的快捷菜单中选 择Solve命令，进行求解
– 后处理
在outline中的Solution选项中右击，在弹出的快捷菜单中 选择Equivalent All Results 命令，进行求解
将上式两端同除以质量 m ：
& x& (t)cx & (t)kx(t)Fcost
mm m
令：
AF k
m c2nm kn2
得：
& x & ( t ) 2n x & ( t ) n 2 x ( t ) n 2 A c o st
式中：为阻尼比
设其解为：
x(t)Xcos(t)
代入原方程，可得： X
预应力为108N
讨论：为什么会出现这样的差异？
4.3: 谐响应分 析
第一节 谐响应分析的目的
简谐激励
转子 机械损伤 污染物堆积 轴弯曲 轴孔偏离中心
风扇 机械损伤 污染物堆积 轴孔偏离中心
齿轮 机械损伤 轴孔偏离中心
什么是谐响应分析？
确定一个结构在已知频率的正弦（简谐）载荷作用下结构
响应的技术。 输入： 已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）； 同一频率的多种载荷，可以是同相或不同相的。 输出： 每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相； 其它多种导出量，例如应力和应变等。
第二节 谐响应分析术语
谐波激励的下强迫运动
其中 F ( t ) 为谐波激励力
F(t)Fcost
F 外力幅值
外力的激励频率
受力分析： 振动微分方程：
F (t)