第四章微分方程
考纲要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.
4.会用降阶法解下列微分方程：()
()n y
f x =，(,)y f x y ′′′=和(,)y f y y ′′′=.
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
8.会解欧拉方程.
9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念
1微分方程的基本概念
考纲要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.
微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.
微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）.微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题（Cauchy 问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题：
(,,)0F x y y ′=，00()y x y =.
二阶微分方程初值问题：
(,,,)0F x y y y ′′′=，00()y x y =，00
()y x y ′′=.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.二、一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y ′=，解出y ′：
(,)dy
f x y dx
=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是：
判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程：
()()dy
g x h y dx
=解法分离变量：
()()dy g x dx h y =；两端积分：()()
dy
f x dx h y =∫∫.
2.齐次型方程：
dy y dx x ϕ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
解法令y u x =
，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()du u x u dx
ϕ+=并求解.▲可化为齐次型的方程：
11
111()a b dy ax by c dx a x b y c a b
++=≠++.
3.若
4.1.3.
5.⎩7.0)2(2=+−xdy dx y xy 8.4
252+−−−=
′y x x y y 9.当0→∆x 时，α是比x ∆高阶的无穷小，α++∆=∆2
1x
x
y y ，π=)0(y ，求)1(y .【4π
πe 】
10.设e x
y =是微分方程()xy P x y x ′+=的一个解，求此微分方程满足条件ln 20x y ==的特解.
11.作变量替换2y u x =，求解x y y x y dx dy 2tan 212+=.【Cx x
y =2
sin 】
12.设()()()F x f x g x =，其中函数()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内满足以下条件：()()f x g x ′=，
()()g x f x ′=，且(0)0f =，()()2x f x g x e +=.
13.1.2.3.特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解.步骤如下：
⑴令y p ′=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ′′=
==，方程化为(,)dp
p f y p dy
=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）
；⑵解出p ；⑶再由y p ′=解出y .
例题
1.求微分方程(ln ln )xy y y x ′′′′=−的通解.【11111
12111
111e [e e ]C x C x C x y xd x C C C C +++=
=−+∫】2.求初值问题2
21,(1)1,(1)1yy y y y ′′′′=+==−的解.【2
1(45)2
y x x =
−+】▲二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.四、二阶常系数线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=，若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的.1.线性微分方程解的性质
⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的两个解，则12y y −是对应齐次方程
()()0y P x y Q x y ′′′++=的解.
⑶（解的叠加原理）设*
k y
是线性方程
()()()k y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则*
1
n
k k y =∑是
1
()()()n
k k y P x y Q x y f x =′′′++=∑的特解.
2.线性微分方程解的结构
定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.
定理2（非齐次方程解的结构）设*
y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的一个特解，
1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次
方程的通解.
例题设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+′+′′的三个线性无关的解，则其通解为
.【
1121231()()y C y y C y y +−+−】
3二阶常系数线性齐次方程0
y py qy ′′′++=先求出它的特征方程2
0r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.
41.2.1.求满足的解.【4
4】2.求2
sin y a y x ′′+=的通解，其中0>a .
3.求x x y y cos +=+′′的通解.【x x x x C x C y sin 2
1
sin cos 21+++=】4.x x y y sin 12
++=+′′的特解形式可设为
.【*
2
(cos sin )y ax bx c x A x B x =++++】
5.设()x ϕ是方程0y y ′′+=的满足条件(0)0y =，(0)1y ′=的解，证明0
()()x y t f x t dt ϕ=
−∫
是方程
()y y f x ′′+=的满足条件(0)(0)0y y ′==的解.
5欧拉方程2
()x y pxy qy f x ′′′++=（数学一）
令1.2.31.2.3.六、微分方程的应用：
关键是建立微分方程（包括初始条件）.例题
1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M
在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为31
63+x ，求
)(x f 的表达式.【2)1()(−=x x f 】
2.设位于第一象限的曲线()y f x =
过点1
2
，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段
3.4.5.6.7..（假设注入液体前，容器内无液体）
⑴根据t 时刻液面的面积，写出t 与()y ϕ之间的关系；【2
()4t y ϕ=−】⑵求曲线()(0)x y y ϕ=≥的方程.【03-2，6
2y x e
π
=】
8.设有一高度为()h t （t 表示时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()
()()
x y z h t h t +=−（设长度
单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时？【01-1，100
t=】
9.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受的
平均压强为常数p，求桥墩的形状.【
()
2
g
y h
p
x ae
ρ
−−=】
10.桶内有清水100升，现在以每分钟3升的速度向桶内注入浓度为每升2克的食盐水，同时以每分钟4升的速度流出混合液，求30分钟后桶内液体的含盐量.
1.
2.
设
1.
2.
3.
4.
5.
6.
则。