授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
通解即为在一定范围内就是方程的所有解的一个共同表达式。
例如 312x C x C ++1y=6是微分方程22d y x dx =的通解。
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件，例如微分方程22d y x dx=，初始条件'(0)1,(0)2y y ==，则满足初始条件的特解为321x x ++1y=6。
带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。
微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。
由于微分方程的解是通过积分而获得的，所以我们也把微分方程的解称为微分方程的积分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。
微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。
例2 验证下列函数(其中C 为任意常数)是否是相应的微分方程的解，是通解还是特解：222(1) '2,,;(2) '',sin ,3sin 4cos ; (3) 2,,.x xxy y y Cx y x y y y x y x x dy y y e y Ce dx====-==-=== 如果微分方程中关于未知函数及其导数()(),"(),...,()n t x t x t 'x(t),x是一次有理整式，则称方程是线性的，称它是n 阶线性微分方程，一般形式为：(1)'11()()()()()()()()n n n t a t x t a t x t a t x t f t --++⋅⋅⋅++=(n)x如果≡f(t)0，则称为n 阶线性齐次方程；否则称为线性非齐次方程，这时称f(t)为线性方程的非齐次项。
如果微分方程不是线性的微分方程，则称为非线性方程。
三、小结微分方程定义及概念：微分方程的阶，通解，特解， 四、练习课堂完成P97 2第二节 常微分方程的分离变量法可分离变量的微分方程（1）可分离变量的微分方程：形如()()f x g y =dydx称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的左端可分离为只含x 的函数f(x)与只含y 的函数g(y)的乘积。
（2）可分离变量的微分方程的求解步骤： 第一步 分离变量为 g(y)dy =f(x)dx第二步 将上式两端积分得： =⎰⎰g(y)dy f(x)dx 设G (y).F(x)分别为g(y)、f(x)的原函数，则得微分方程()()f x g y =⋅dydx的通解为 ()()G y F x C =+例1 求解方程xy dx dy = 解 分离变量，方程化为xdx y dy = 两端积分，即得通积分 1ln ln C x y +=或 Cx y ln ln = (C 0≠)解出 ，得方程通解Cx y = (C 0≠) 另外，0=y 也是方程的解.所以在通解Cx y =中，任意常数C 可以取零. 练习:求微分方程2=dyxy dx的通解 例2 求解方程0)1()1(22=-+-dy x y dx y x解 首先，易见1±=y ，1±=x 为方程的解.其次，当0)1)(1(22≠--y x 时，分离变量得01122=-+-y ydyx xdx 积分，得方程的通积分C y x ln 1ln 1ln 22=-+- )0(≠C )或 C y x =--)1)(1(22 )0(≠C练习1求微分方程)0dy xydx +=2(1+x 的通解在求解微分方程时，一般都会遇到求解不定积分，而有些不定积分虽然是存在的，却不能用初等函数表达所求的结果，通常称为“积不出”，因此，并非所有的微分方程都能求出精确解，我们只能求解一些特殊的微分方程，如可分离变量的微分方程等等，微分方程的应用广泛，数学家提出了许多求微分方程数值（近似解）的方法，在实际应用中发挥了很大作用。
三、小结建立微分方程；解可分离变量的微分方程。
四、练习1。
3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：2201',|0;(4) ',| 1.x x x y x y y y xy====+== 2。
课外作业P103 1 (1) （2） (4) 2 (3)3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：220(1) 'sin ln ,|;(3) ',|0;x yx x y x y y y e y ey π-======6．设一曲线过原点，且在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +，求此曲线方程。
第三节一阶线性微分方程的解法本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型. 一阶线性微分方程的形式是)()(x f y x p dxdy=+（1） 如果0)(≡x f ，即0)(=+y x p dxdy(2) 称为一阶线性齐次方程.如果f(x)不恒为零，则称(1)为一阶线性非齐次方程. 1、一阶线性非齐次方程的通解先考虑线性齐次方程(2)， (2)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是⎰=-dxx p Ce y )( (3)下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1)的解.其想法是：当C 为常数时，函数（3)的导数，恰等于该函数乘上- p (x ),从而(3)为齐次 方程(2)的解.现在要求非齐次方程(1)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于f(x).为此，联系到乘积导数的公式，可将(3)中的常数 C 变易为 函数C (x )，即令⎰=-dxx p e x C y )()( (4)为方程(1)的解，其中C (x )待定.将(4)代入(1)，有)()()()()()()()()(x f e x C x p e x C x p e x C dx x p dx x p dx x p =⎰+⎰-⎰'---即 ⎰='dxx p e x f x C )()()(积分后得C dx e x f x C dxx p +⎰=-⎰)()()(把上式代入(1.37)，得到(1)的通解公式为dx e x f e Ce y dxx p dxx p dx x p ⎰⎰+⎰=⎰--)()()()( (5)在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.例1 求解方程2x xydx dy += (6) 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程xy dx dy = 的通解为 y=C(x) 由常数变易法，令y=C(x)x 为方程(6)的解，代入(6)有2)()()(x x C x C x C +=+'即 x x C =')( 积分得 C x x C +=221)( 代回后得原方程(6)的通解为 321x Cx y += 例2 求解方程x x x y dxdysin 2cot =- （7） 解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程. 先解对应齐次方程0cot =-x y dxdy分离变量后再积分有⎰⎰+=C xdx ydyln cot即取指数后，得齐次通解由常数变易法，令为非齐次方程(7)的解，代入后得即积分得于是原方程7)的通解为仔细看一下非齐次方程(1)的通解公式(5)，我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线 性非齐次方程(1)的通解，等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次 方程(1)的一个特解之和. 为了求解初值问题常数变易法可采用定积分形式.即(4)可取为（8）代入(1)并化简，得积分得代入(8)得到将初值条件代入上式，有，于是所求初值问题解为(9)或(10)小结:会用常数变易法求解一阶线性微分方程 作业:P103 5 (1)第四节二阶常系数齐次线性微分方程 一、 二阶常系数齐次线性微分方程解的性质定义1：形如 y ″+p y ′+qy = 0 （1）的方程（其中p 、q 为常数），称为二阶常系数齐次线性微分方程定理1：若12,y y 是齐次线性方程（1）的两个解，则1122y c y c y =+也是（1）的解，且当1y 与2y 线性无关时，1122y c y c y =+就是式（1）的通解 二、 二阶常系数齐次线性微分方程解的求解方法令rxy e =为（1）的解并代入（1）得20rx rx rx r e pre qe ++=所以有 20r pr q ++= （2） 称（2）为（1）的特征方程，（2）的根称为特征根。