§2 方阵的特征值与特征向量
主要内容： 一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的相关定理 三、特征值与特征向量的求解
§2 方阵的特征值与特征向量
定义: 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非 零列向量x使关系式 Ax= λx (1)
成立,那么,这样的数λ称为方阵A的特征 值,非零向量x称为对应于特征值λ的 特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2 =1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p1
1 1
,
p2
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k1
1 1
,
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p2
1
1
.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
若pi是方阵A的对应于特征值i的特征向量, 则kpi (k 0)也是对应于i的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
例 若λ是矩阵A的特征值,证明
(1) m是Am的特征值 m是任意常数;
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
k2
0 0
(k1 ,
k2不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
当3 4 =-1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p3
1
,
1
p4
§2 方阵的特征值与特征向量
说明: (1)若是A的特征值,则 k是Ak的特征值;
(2) () ( A)是的特征值 (其中 () a0 a1 am m是的多项式, ( A) a0E a1A am Am也是A的多项式).
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2, , n,
3 2
1
1
3
2
x1 x2
0 0
,
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为p1
1 1 .
§2 方阵的特征值与特征向量
当2 4时,由
3 4
1
1
3
4
x1 x2
0 0
,
即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
说明: A的特征值就是特征方程的解.
§2 方阵的特征值与特征向量
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 (4 )(2 ) 1 3
所以A的特征值为1 2, 2 4.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2时, 对应的特征向量应满足
§2 方阵的特征值与特征向量
由Ax= λx 得(A- λE)x =O, (2)
这是未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必 要条件是系数行列式| A- λE |=0, (3)
即
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n 0
an1
an2
ann
上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程. 记f (λ) =| A- λE |称为方阵A的特征多项式.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
1.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
2.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一 个特征向量不能属于不同的特征值．
§2 方阵的特征值与特征向量
总结 求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det A E;
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k3
1
1
k4
0 0
(
k3
,
k4不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
定理
设1, 2, , m是方阵A的m个特征值,
p1, p2, , pm依次是与之对应的特征向量,
如果1, 2 , , m各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证 因λ是A的特征值,故有p≠O使Ap= λp.于是
1 A2 p A( Ap) A( p) ( Ap) 2 p,
故 2 是矩阵A2的特征值, 且 x 是 A2 对应于 2的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
2 当A可逆时,由Ap p, 有p A1 p,
因p 0, 知 0, 故A1 p 1 p 所以 1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于 1的特征向量.
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
§2 方阵的特征值与特征向量
0 0 0 1
例
求A
0 0
0 1
1 0
0
的特征值和特征向量.
0
Hale Waihona Puke 100解 A的特征多项式为
0 0 1
AE 0
0
1 1
0 ( 2 1)2
0
1 0 0
所以A的特征值为1 2 1, 3 4 1.
2. 求特征方程 det A E 0的全部根1, 2 ,
, n ,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组 A iE x 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.