1
的
一
个
特
征
值
为___3_/4_ .
A* 1的一个特征值为____2/_3 .
2 1 1
例6
已知 1
k
1T
为A
1
1
2 1
0的都是矩阵A的特征值.
3. A I 0
a11 a1
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程
为A的
.
记
,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的
.
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann；
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
A I 3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 ) 解特征方程 A I 0
即得A的特征值为 2, 4.
1
2
当 2时,对应的特征向量应满足 1
3 2 1
1 32
x1 x2
0 0
即
xx1 1xx2 200, .
解得 x1
x2,
所
以
对
应
的
特
征
向
量
可取
为
p 1
c
11 ,
c
0.
当 4时,由 2
3 4 1
1 34
x1 x2
0 0
,即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
1 p2 c 1 , c 0.
(a11 a22 ann ) 由同次项系数应该相等，知成立
(1) 1 2 n a11 a22 ann; 证：(2) 由 A I (1 )(2 )(n )， 既然是等式，即对 的任意取值都成立，故以 0代入上式，即得
(2) 12 n A .
二、特征值与特征向量的求法
有特征值 ( ) a0 a1 amm , 对应的特征
向量仍为 x.
3. 方阵A与AT的特征值相同，但特征向量却 未必一样.
证： 由 AT I ( A I )T A I 0
即知A与AT的特征值相同；
但若取A
0 0
10,
则明显A与AT的特征值均为1，2 0， 不过，
A的特征向量为 x c10,(c 0) 而AT的特征向量却为 x c10,(c 0)
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意正整数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量 x
使关系式
Ax x 成立, 那末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
说明:1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
A I x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A I
~
1
0
0
0 1 0
0
0
0
得基础解系
0
p 0,
1 1
p 所以k (k 0)是对应于 2的全部特征向量.
1
1
当 1时,解方程( A I )x 0.由
2
3
2 A I 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2,
1
p 所以k (k 0)是对应于 1的全部特征
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
再由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
三、特征值和特征向量的性质
1. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1,2,,
n ,则有
(1)
1
2
n
n
a11
a22
ann
即 i tr( A)
i 1 n
(2) 12 n i A.
i 1
2. 设A的特征值对应的特征向量为 x, 则A的
多项式 ( A) a0I a1A am Am
(2) 12 n A .
证：(1) 由I A ( 1)( 2 )( n )
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
比较第二个等号两端n1项的系数，知 等号左端 n1的系数为
(1 2 n )
而根据行列式的展开定义，知 右端 n1项的系数为
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1
A I 4 3
1
0
0
0 (2 )(1 )2,
2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 2时,解方程( A 2I )x 0.由 1
3 A 2I 4
1
1 1 0
0 0 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.由
4 A 2I 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
2
2
3
向量.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
A I 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 令 ( 1) 22 0，
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A I x 0.由
1 A I 0
1 3
1 0
4. 设Ax x,且A可逆，则
(1) A1 x 1 x;
(2) A x A x.
证（2）：当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
A x A x
例5 : 2是非奇异阵A A 3的一个特征值则
A2 3