定理4
设1，2， ，s是方阵A的互不相同的特征值，
x1, x2, , xs是分别与之对应的特征向量，则 x1, x2, , xs线性无关。 esp .
属于实对称阵的不同特征值的特征向量是正交的。
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矩阵的特征值与特征向量 （完）
二、特征值与特征向量的性质
设A aij nn Cnn , 称 a11 a22 ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22 ann. tr: trace
������������������ ⋯ ������������������ ������ = ⋯ ⋯ ⋯

as s

a s1 s 1

对于A Cnn , 规定
f A as As as1As1 称f A为矩阵A的多项式.
a1 a0 ,
a1A a0I
f(λ) 是普通多 项式
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定理3
设A Cnn , A的n个特征值为1，2， ，n，对应的
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定理2
设i是ACnn的ri重特征值 称ri为特征值i的代数重数 ，
对应i有si个线性无关的特征向量(称si为特征值i的
几何重数），则1 si
简单地说，几何 重数不超过代数 重数
定义4
设f 是的多项式
f

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第1章 矩阵的相似变换 §1.1 矩阵的特征值与特征向量 §1.2 矩阵的相似对角化 §1.3 矩阵的Jordan标准形 §1.4 Hamilton-Cayley 定理 §1.5 向量的内积 §1.6 矩阵的酉相似
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下一讲内容： 相似矩阵
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������������������ ⋯ ������������������
定理1 证明从略
设n 阶方阵A aij nn 的特征值为1，2， ，n ,则

1 1+2 + +n a11 a22 ann = trA;
n
2k A A可逆的充要条件是A的特征值非零。
A的对应特征值i的特征向量；
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例1
1 2 2
设A


2
2
4

,
求A的特征值与特征向量。
2 4 2
解
A的特征多项式为
1 2 2
det I A 2 2 4 22 7
2 4 2
8 2 2 1 0 0.5
7I

A


2
5
4

r


0
1
1

2 4 5 0 0 0
1
得基础解系
x3


2

,
故对应3

7的全部
2
特征向量为 k3x3，k3 0.
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2 2
得基础解系
x1


1

,
x2


0

0
1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1x1 k2x2 ,
其中k1, k2不同时为0.
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当3 7时，解方程组7I A x 0.由
������������������ ⋮ ������������������ ������������ = ⋮ ⋮ ⋮
������������������ ⋮ ������������������
������������������ ⋮ ������������������ ������������ = ⋮ ⋮ ⋮
k 1
3 AT的特征值是1，2， ，n,
而AH的特征值是1，2， ，n
������������������ ⋮ ������������������
这里复数������ = ������ + ������������的共轭： ������ = ������ − ������������
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本视频内容： 矩阵的特征值与特征向量
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§1.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
1、定义
定义1
设ACnn ,若 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A的属于的特征向量。
在上下文清楚 的情况下，也 可简称为特征 向量
简称特征向量
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2、特征多项式
定义2
设A Cnn,称In A为A的特征矩阵，
称detIn A In A 为A的特征多项式,
称 In A 0为A的特征方程。
Notations
1 A的特征值就是A的特征方程的根；
2 n 阶方阵A在复数范围内一定有n个特征值。
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3、特征值与特征向量的求法
设A Cnn
1求 In A 0的n个根1,2,
全部特征值；
, n,它们即为A的
2求解齐次方程组iIn A x 0,其非零解向量即为
所以A的特征值为1 2 2，3 7.
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当1 2 2时，解方程组2I A x 0, 由
1 2 2 1 2 2
2I

A


2
4
4

r


0
0
0

2 4 4 0 0 0
特征向量分别为x1, x2, , xn,又设f 为一多项式， 则f A的特征值为f 1 , f 2 , , f n ,对应的
特征向量分别仍为x1, x2, , xn.
esp .
当 f A =0时，A的任意特征值i都满足f i 0.
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