第七章 线性变换
§7.4 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?
( E A)X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基 , , 12
,下n 的坐标.)
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11,c12 , , c1n ),(c21, c22 , , c2n ), ,(cr1, cr2 , , crn )
n
则 i cij j , i 1, 2, , r
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 A 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 A 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 , x0n
则 A( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
注：① 若矩阵A是线性变换 A 关于V的一组基的矩阵，
而0是 A 的一个特征值，则0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
反之，若0 是A的特征多项式的根，则0 就是 A
的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为
k33 , (k3 P, k3 0 )
三、特征子空间
定义：设A 为n维线性空间V的线性变换，0 为 A
的一个特征值，令 V0为 A 的属于0 的全部特征向量
再添上零向量所成的集合，即 V0
A 0
则 V0是V的一个子空间, 称之为 A 的一个特征子空间.
1 1 3, 2 2 3
而属于1 的全部特征向量为
k11 k22 , (k1, k2 P 不全为零 )
把 5 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
4x 2x 2x
1
2
3
2x 4x 2x
1
2
3
0 0
2
x 1
2x 2
4x 3
0
解得它的一个基础解系为： (1,1,1)
因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
j1
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量.
而 k11 k22 krr ,
（其中， k1, k2 , , kr P 不全为零）
就是 A 的属于 0 的全部特征向量.
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
E kE ( k)n .
所以它的系数行列式 0E A 0.
以上分析说明：
若0是 A 的特征值，则 0E A 0.
反之，若 0 P 满足 0E A 0,
则齐次线性方程组 (0E A)X 0 有非零解.
若 ( x01, x02 ,
,
x0n )是
( E 0
A) X
0
一个非零解，
则向量 x 01 1
x 0n n
② 若 是 A的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 A 的属于0 的特征向量.
A(k ) k A( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 A( ) 且 A( ) ，则 .
A( ) A( ) A( ) 0 0 0( ) A(k ) k A( ) k(0 ) 0(k ) V0 , k V0
注：
就是 A 的属于 0的一个
特征向量.
1. 特征多项式的定义
设 A Pnn , 是一个文字，矩阵 E A 称为
A的特征矩阵，它的行列式
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
a 2n
fA( )
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
故数乘法变换K的特征值只有数k，且
对 V ( 0), 皆有 K ( ) k .
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
例2.设线性变换
A
在基
1
,
2
,
3
下的矩阵是
1 2 2
A
2 2
1 2
2 1
,
求 A 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
而相应的线性方程组 ( E A)X 0 的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 1 , 2 , , n ,写出 A 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们
就是 A 的全部特征值.
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
一、特征值与特征向量
定义：设 A 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 ,
使得
A( ) 0 ,
则称 0为A的一个特征值，称 为 A 的属于特征值
0 的特征向量.
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0)或相反 (0 0). 0 0 时 , A( ) 0.
x01
而0
的坐标是
0
, x0n
又 A( ) 0
x01 x01
于是 A ,
x0n 0 x0n
x01
从而 ( E A) 0.
0
x0n
x01
即
x0n
是线性方程组
(0 E
A) X
0Hale Waihona Puke 的解，x01 又
0,
x0n
0,
∴
(0 E
A) X
0 有非零解.
2 2 1
故 A 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
2 2
x 1
x 1
2x 2
2x 2
2x 3
2x 3
0 0
2
x 1
2x 2
2x 3
0
即
x x x 0
1
2
3
它的一个基础解系为：(1,0,1), (0,1,1)
因此，属于1 的两个线性无关的特征向量为