课时跟踪检测（十二） 函数与方程[A 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·重庆一中期中)函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.2．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，当x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2时f (x )＝0都成立．∴f (x )的零点个数为6.故选C.3．(2019·江西三校联考)设函数y ＝log 2x －1与y ＝22－x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C 令函数f (x )＝log 2x －1－22－x ，则f (2)＝－1，f (3)＝log 23－32＝log 23－log 2(8)>0，因为f (2)f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)上必有零点．又易知函数f (x )为增函数，所以f (x )在(2,3)上有且只有一个零点，所以x 0∈(2,3)，故选C.4．(2019·福州期末质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 根据题意，令x 2－2x ＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，即当x ≤0时函数有两个零点；又当x >0时，1＋1x＋3x ＝0无解．故函数只有两个零点．故选C.5．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2，如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2,1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，即函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知12<k <1.故选B.6．(2019·辽宁朝阳普通高中模拟)方程4sin πx ＝21－x在[－2，4]内根的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．5D ．8解析：选D 由原方程得2sin πx ＝11－x，在同一坐标系中作出两函数y ＝2sin πx 和y ＝11－x的图象，如图．由图可知，两函数的图象在[－2,4]上共有8个交点，即原方程在[－2，4]内有8个根．故选D.7．(2019·广东佛山顺德区一模)对于实数a ，b 定义运算“D ○×”：aD ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b .设f (x )＝(2x －3)D ○×(x －3)，且关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为( )A ．(0,3)B ．(－1,0)C ．(－∞，0)D ．(－3,0)解析：选D ∵aD ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b ，∴f (x )＝(2x －3)D ○×(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，－3x 2＋6x ，x ≥0， 其图象如图所示．不妨设x 1<x 2<x 3，由图可得x 1＝－k ，x 2x 3＝13k ，故x 1x 2x 3＝－13k 2，k ∈(0,3)，∴x 1x 2x 3∈(－3,0)．故选D.8．(2019·沈阳模拟)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为________．解析：将函数f (x )＝log 2(x ＋a )的零点x ＝1－a ，代入x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得到(1－a )2－(a ＋1)(1－a )－4(a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.答案：5或－29．(2019·凉山州一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x <0，2，x ≥0，则方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x <0，2，x ≥0，方程f (1＋x 2)＝f (2x )，∴当x <0时，2＝e 2x ＋1，解得x ＝0，不成立； 当x ≥0时，f (1＋x 2)＝f (2x )＝2，成立． ∴方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是{x |x ≥0}． 故答案为{x |x ≥0}． 答案：{x |x ≥0}10．(2019·常德期末)设函数f (x )＝x 2，若函数g (x )＝[f (x )]2＋mf (x )＋m ＋3有四个零点，则实数m 的取值范围为________．解析：根据函数f (x )＝x 2≥0且g (x )＝[f (x )]2＋mf (x )＋m ＋3，令t ＝f (x )，结合函数f (x )＝x 2的图象及题意可知方程t 2＋mt ＋m ＋3＝0有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，－m >0，m ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >6或m <－2，m <0，m >－3，即－3<m <－2. 答案：(－3，－2)11．(2019·遵义月考)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t (t <1)，则原方程化为g (t )＝a 有4个不同的实数根，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g (t )的图象，结合图象可知，1≤a <54，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 12．(2019·沈阳四校联考)已知函数f (x )＝2x －a2x (a ∈R)，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在x ∈[0,1]上有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，得g (x )＝2x －2－a 2x－2.(2)设2x ＝t ，x ∈[0,1]，则t ∈[1,2]，原方程可化为t 2－at －a ＝0， t 2－at －a ＝0在t ∈[1,2]上有且仅有一个实数根．法一：设k (t )＝t 2－at －a ，图象的对称轴方程为t ＝a2，因为k (1)＝1－2a ，k (2)＝4－3a ，所以k (1)与k (2)不同时为0，所以k (1)·k (2)≤0，①或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1≤a 2≤2，② 由①得(1－2a )(4－3a )≤0，即(2a －1)(3a －4)≤0，得12≤a ≤43.由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＝0，2≤a ≤4，无解，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43. 法二：由t 2－at －a ＝0，t ∈[1,2]，得1a ＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋1t ，t ∈[1,2]． 设u ＝1t，则u ∈⎣⎡⎦⎤12，1，1a ＝u 2＋u . 记h (u )＝u 2＋u ，则h (u )＝u 2＋u 在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增， 故h ⎝⎛⎭⎫12≤1a ≤h (1)，即34≤1a ≤2， 所以12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43.[B 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·西安高三一检)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12<33，则这样的零点有( )A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个解析：选C 依题意得sin πx 0＝0，所以πx 0＝k π(k ∈Z)，即x 0＝k ，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0＋12π＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π2＝cos πx 0＝cos k π，所以|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12<33，即|k |<33－cos k π，当k 为偶数时，|k |<32，则零点有31个；当k 为奇数时，|k |<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，故选C.2．(2019·绵阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当－1≤x ≤1时，f (x )＝|x |.若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为( )A ．(4,5)B ．(4,6)C ．{5}D ．{6}解析：选C 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )的周期为2. 当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |.在同一直角坐标系下作出函数f (x )与g (x )＝log a x 的图象，如图所示．若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a >1且函数g (x )＝log a x 的图象过点(5,1)，即a ＝5.故选C.3．(2019·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1， ∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4， ∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。