导数及其应用大题精选姓名____________班级___________学号____________分数______________1 ．已知函数)0()(>++=a c xbax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,;(2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.2 ．已知2<a ,函数x e a ax x x f )()(2++=(1)当1=a 时,求)(x f 的单调递增区间; (2)若)(x f 的极大值是26-⋅e ,求a 的值.3 ．已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+,其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间;(Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 .4 ．已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立.5 ．已知函数()ln af x x x=-,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.6 ．已知函数2()4ln f x ax x =-,a ∈R .(Ⅰ)当12a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性.7 ．已知函数()e (1)x f x x =+.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围.8 ．已知函数a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈.(Ⅰ) 求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围.9 ．已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->.(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若()f x 在[1]e ，上没有零点,求实数a 的取值范围.10．已知曲线()x f x ax e =-(0)a >.(Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线;(Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.导数及其应用大题精选参考答案1. 解: (1)f ′(x )=a -bx 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝0f ′1＝a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .(2)由(1)知,f (x )=ax +a －1x+1-2a . 令g (x )=f (x )-ln x =ax +a －1x+1-2a -ln x ,x ∈[1,+∞), 则g (1)=0,g ′(x )=a -a －1x 2-1x =ax 2－x －a －1x 2=a x －1x －1－aax 2,(ⅰ)当0<a <12时,1－aa>1.若1<x <1－aa,则g ′(x )<0,g (x )是减函数,所以g (x )<g (1)=0,即f (x )<ln x .故f (x )≥ln x 在[1,+∞)上不恒成立. (ⅱ)当a ≥12时,1－a a≤1.若x >1,则g ′(x )>0,g (x )是增函数,所以g (x )>g (1)=0,即f (x )>ln x ,故当x ≥1时,f (x )≥ln x . 综上所述,所求a 的取值范围为[12,+∞).2.3. (Ⅰ)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a = (Ⅱ)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由'()0'()0f x x f x x >><<解得解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.(Ⅲ)当2a ≥时,由(Ⅱ)①知,()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时,由(Ⅱ)②知,()f x在x =(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞4. 解: (Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ，'()ln 1f x x =+令'()0f x =,得 1ex ='()f x 与()f x 的情况如下:所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ,单调增区间为1(,)e+∞(Ⅱ) 证明1: 设1()ln g x x x =+,0x > ，22111'()x g x x x x-=-= '()g x 与()g x 的情况如下:所以()(1)1g x g ≥=,即1ln 1x x+≥在0x >时恒成立, 所以,当1k ≤时,1ln x k x+≥, 所以ln 1x x kx +≥,即ln 1x x kx ≥-, 所以,当1k ≤时,有()1f x kx ≥- 证明2:令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+'()ln 1g x x k =+-令'()0g x =,得1e k x -='()g x 与()g x 的情况如下:()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=-当1k ≤时,1e1k -≤,所以11e 0k --≥故()0g x ≥即当1k ≤时,()1f x kx ≥-5. (Ⅰ)解:由2()ln f x x x=-,得212()f x x x '=+,所以 (1)3f '=,又因为 (1)2f =-,所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --= (Ⅱ)解:由 ()2f x x >-+,得ln 2ax x x->-+, 即 2ln 2a x x x x <+- 设函数2()ln 2g x x x x x =+-, 则 ()ln 21g x x x '=+-,因为(1,)x ∈+∞,所以ln 0x >,210x ->, 所以当(1,)x ∈+∞时,()ln 210g x x x '=+->, 故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增, 所以当(1,)x ∈+∞时,()(1)1g x g >=-因为对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+成立, 所以对于任意(1,)x ∈+∞,都有()a g x <成立. 所以1a -≤6. 解:(Ⅰ)当12a =时,21()4ln 2f x x x =-,(0,)x ∈+∞, 所以4'()f x x x=-,(0,)x ∈+∞.因此,'(1)3f =-.即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为3-. 又1(1)2f =,即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1)2y x -=--. 即6270x y +-=(Ⅱ)242(2)'()2ax f x ax x x-=-=,(0,)x ∈+∞.(1)当0a =时, 因为(0,)x ∈+∞,4'()0f x x-=<,所以()f x 在(0,)+∞上单调递减. (2)当0a <时,因为(0,)x ∈+∞,()0f x '<.所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.(3)当0a >时,)x ∈+∞,'()0f x >.x ∈,'()0f x <.所以()f x 在)+∞上单调递增,在上单调递减. 综上,当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;当0a >时,()f x 在)+∞上单调递增,在上单调递减 7. 解:(Ⅰ)()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+(0)1f =,(0)2f '=∴曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-, 即210x y -+=(Ⅱ)令()0f x '=得2x =-,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下表:∴()f x 在(,2)-∞-上递减,在(2,0)-上递增∴()f x 在(,0)-∞上的最小值是2(2)f e --=-∴2ek -->,即2k e -<-∴k 的取值范围是2(,)e --∞-8. 解: (Ⅰ)a x x f 33)(2-=',(1) 当0≤a 时,0)(≥'x f 恒成立,此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数, (2)当0>a 时,令0)(='x f ,得a x ±=; 令0)(>'x f ,得a x -<或a x >令0)(<'x f ,得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数,在],[a a -上是减函数. 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,(1)当0≤a 时,)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增,所以题设成立6 分 (2)当0>a 时,)(x f 在a x -=处达到极大值,在a x =处达到极小值,此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f , 即:02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a即:023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a 11 分 解得:10<<a 12 分 由(1)(2)可知a 的取值范围是)1,(-∞9. 解:(Ⅰ)22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，22()2a f x x x '=-2222x a x-=2()()x a x a x +-= ()f x 在1x =处取得极值,(1)0f '∴=,解得1a =或1a =－(舍)当1a =时,()01x ∈，,()0f x '<;()1x ∈+∞，,()0f x '>, 所以a 的值为1(Ⅱ)令()0f x '=,解得x a =或x a =-(舍)当x 在(0)+∞，内变化时,()()f x f x '，的变化情况如下:由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，,单调递减区间为(0)a ， (Ⅲ)要使()f x在[1]e ，上没有零点,只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <, 又(1)10f =>,只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. (ⅰ)当a e ≥时,()f x 在区间[1]e ，上单调递减, 22min()()20f x f e ea ==->,解得02a <<与a e ≥矛盾(ⅱ) 当1a e <<时,()f x 在区间[1)a ，上单调递减,在区间(]a e ，上单调递增, 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->,解得0a <<所以1a <<(ⅲ)当01a <≤时,()f x 在区间[1]e ，上单调递增,min ()(1)0f x f =>,满足题意. 综上,a 的取值范围为0a <<10.解: (Ⅰ)因为(0)1f =-,所以切点为(0,-1).()x f x a e '=-,(0)1f a '=-,所以曲线在点(0,(0)f )处的切线方程为:y =(a -1)x -1(Ⅱ)因为a>0,由()0f x '>得,ln x a <,由()0f x '<得,ln x a >,所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递增,在(ln ,)a +∞上单调递减,所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-.因为存在0x 使得0()0f x ≥,所以ln 0a a a -≥,所以a e ≥。