一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成90 角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为902、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：0 90 0 ,902、直线与平面所成的角的取值范围是： 0 90 0 ,903、斜线与平面所成的角的取值范围是：900 ,904、二面角的大小用它的平面角来度量； 取值范围是：0 1800 ,180十、三角形的心 1、 内心：内切圆的圆心， 角平分线的交点2、 外心： 外接圆的圆心， 垂直平分线的交点3、 重心： 中线的交点4、 垂心：高的交点【例题分析】例 2 在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是 AB ，PC 的中点，求 证： MN∥平面 PAD ．分析】 要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造 （添加 ）中位线辅助证明．证明： 方法一，取 PD 中点 E ，连接 AE ，NE ．∵底面 ABCD 是平行四边形， M ，N 分别是 AB ， PC 的中点，1∴ MA∥CD， MA CD.2∵E 是 PD 的中点，1∴ NE∥CD， NE CD.2∴ MA∥NE，且 MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN∥AE． 又 AE 平面 PAD ， MN 平面 PAD ， ∴ MN∥平面 PAD ．方法二取 CD 中点 F ，连接 MF ， NF ．∵MF∥AD，NF∥PD， ∴平面 MNF∥平面 PAD ， ∴ MN∥平面 PAD ．评述】 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1) 证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥ α，a β α∥βa⊥ α，b⊥ αα∩β＝b∩ α ＝ a ， β＝b∩a∥ba∥b a∥ba∥b(2) a∩ α＝a∥b α∥βb α， a αa β a∥αa∥αa∥α(3) α∩β＝a∥β，b∥β a⊥α，a⊥βα∥，β∥a ，b α ， a∩ b ＝ Aα∥β α∥βα∥β α∥β∵ABC－ A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ AA 1⊥平面 ABC ， ∴AB⊥AA 1． 又 AB⊥ AC，∴ AB⊥平面 A 1ACC 1， ∴A 1C⊥A B ．① 又 AA 1＝ AC ， ∴侧面 A 1ACC 1 是正方形， ∴A 1C⊥AC 1．② 由①，②得 A 1C⊥平面 ABC 1， ∴ A 1C⊥ BC 1．【评述】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直为核心展开的．如本A 1C 垂直于经过 BC 1 的平面即可． 证明： 连接AC ．题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥ AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4 在三棱锥 P－ABC中，平面PAB⊥平面 ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥ 平面 PBC．【分析】要证明“面面垂直” ，可通过“线面垂直” 进行转化，而“线面垂直” 又可以通过“线线垂直”进行转化．证明：∵平面PAB⊥平面 ABC，平面PAB∩平面 ABC＝ AB，且AB⊥ BC，∴ BC⊥平面 PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥ PB，∴ AP⊥平面 PBC，又 AP 平面 PAC，∴平面PAC⊥平面 PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1) 证明线线垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ b a⊥b(1) 证明线面垂直：a⊥m，a⊥n a∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩ β＝l m，n α，m∩ n＝A a β，a⊥ l a⊥αa⊥αa⊥αa⊥ α(1)a⊥ β，a α α⊥β例5 如图，在斜三棱柱 ABC－ A1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且垂直于底面 ABC，∠ A1AB ＝60°， E， F分别是 AB1，BC的中点．(Ⅰ) 求证：直线EF∥平面 A1ACC1；(Ⅱ) 在线段 AB上确定一点 G，使平面EFG⊥平面 ABC，并给出证明．证明：( Ⅰ)连接A1C，A1E．∵侧面 A1ABB1是菱形， E 是 AB1的中点，∴E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC的中点，∴ EF∥ A1C．∵ A1C 平面 A1ACC1， EF 平面 A1ACC1，∴直线EF∥平面 A1ACC1．BG 1(2) 解：当时，平面EFG⊥平面 ABC，证明如下：GA 3连接 EG， FG．∵侧面 A1ABB1是菱形，且∠ A1AB＝60°，∴△ A1AB是等边三角形．BG 1∵E是 A1B的中点，，∴ EG⊥ AB．GA 3∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC，且平面 A1ABB1∩平面 ABC＝ AB，∴ EG⊥平面 ABC．又 EG 平面 EFG，∴平面EFG⊥平面 ABC．例6 如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1中， E是 AC的中点．( Ⅰ)求证：平面 BEC1⊥平面 ACC1A1；( Ⅱ )求证： AB1∥平面 BEC1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：( Ⅰ) ∵ ABC－ A1B1C1是正三棱柱，∴ AA1⊥平面 ABC，∴BE⊥AA1．∵△ ABC是正三角形， E是 AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面 ACC1A1，又BE 平面BEC1，∴平面 BEC1⊥平面 ACC1A1．(Ⅱ) 证明：连接 B1C，设 BC1∩ B1C＝ D．∵BCC1B1 是矩形， D是 B1C的中点，∴DE∥AB1．又 DE 平面 BEC1， AB1 平面 BEC1，∴ AB1∥平面 BEC1．例7 在四棱锥 P－ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC，△ PAD是等边三角形，已知 BD＝2AD＝8，AB 2DC 4 5 ．(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD ； (Ⅱ) 求四棱锥 P －ABCD 的体积．【分析】 本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上的 动点分析知， MB ，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否 垂直平面 PAD ．证明： (Ⅰ)在△ ABD 中，由于 AD ＝4，BD ＝8， AB 4 5 ， 所以 AD 2＋BD 2＝ AB 2． 故 AD⊥ BD．又平面 PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD ＝AD ， BD 平面 ABCD ， 所以 BD⊥平面 PAD ，又 BD 平面 MBD ，故平面 MBD⊥平面 PAD ． (Ⅱ)解：过 P 作PO⊥AD 交 AD 于 O ， 由于平面 PAD⊥平面 ABCD ，所以 PO⊥平面 ABCD ． 因此 PO 为四棱锥 P － ABCD 的高，又△ PAD 是边长为 4 的等边三角形．因此 PO 在底面四边形 ABCD 中， AB∥DC，AB ＝ 2DC ，所以四边形 ABCD 是梯形， 在 Rt △ ADB 中，斜边 AB 边上的高为 4 845ABCD 的高，V P ABCD1324 2 3 16 3.9.如图 4,在边长为 1的等边三角形 ABC 中, D,E 分别是 AB, AC 边上的点 , AD AE ,F 是BC 的中点, AF 与DE 交于点 G ,将 ABF 沿AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥A BCF , 其中BC234 2 3.85即为梯形所以四边形 ABCD 的面积为 S 2 5 4 5 8 525 24.故2(1) 证明: DE // 平面 BCF ;9. 【答案】 (1) 在等边三角形ABC 中, AD AEBC 平面BCF DE//平面BCF ;Q BF CF F CF 平面ABF ;4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，∠ APD=90°，面PAD(2) 证明: CF 平面ABF ;2(3) 当AD 时, 求三棱锥F3DEG 的体积V F DEG .图AD AEDB EC , 在折叠后的三棱锥BCF 中也成立, DE//BC , QDE平面BCF(2) 在等边三角形ABC中, F是BC的中点,所以AF BC①,BFCF 12.Q在三棱锥ABC 2BCF 中, 222BC2BF2CF2CF BF ②(3) 由(1) 可知GE//CF ,结合(2) 可得GE平面DFGV F DEG V E DFG 1 1DG FG GF32113211313 3 2 33324⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．1)证明：EF∥面PAD；2)证明：面PDC⊥面PAD；( 3)求四棱锥P—ABCD的体积．4. 如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F 是BD的中点，∴AC必经过F1分又E 是 PC 的中点， 所以， EF ∥AP2 分∵EF 在面 PAD 外， PA 在面内，∴ EF ∥面 PAD（2）∵面 PAD ⊥面 ABCD ，CD ⊥AD ，面 PAD I 面ABCD=A ，D ∴ CD ⊥面 PAD ，又 AP 面 PAD ，∴ AP ⊥ CD又∵ AP ⊥ PD ，PD 和 CD 是相交直线， AP ⊥面 PCD 又 AD 面 PAD ，所以，面 PDC ⊥面 PAD （ 3）取 AD 中点为 O ，连接 PO ，因为面 PAD ⊥面 ABCD 及△ PAD 为等腰直角三角形，所以 PO ⊥面 ABCD ， 即 PO 为四棱锥 P — ABCD 的高12∵AD=2，∴ PO=1，所以四棱锥 P —ABCD 的体积 V PO AB AD3311. 如图，三棱柱 ABC － A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ ACB=90°， AC=BC 2=AA 1，D 是棱 AA 1的中 点（Ｉ） 证明：平面 BDC 1⊥平面 BDC （Ⅱ）平面 BDC 1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1. 【解析】（Ⅰ）由题设知 BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ，CC 1 AC C ,∴ BC 面 ACC 1A 1 ,又∵DC 1 面 ACC 1A 1 ，∴ DC 1 BC ,由题设知 A 1DC 1ADC 450, ∴ CDC 1 =900即 DC 1 DC ,又∵ DC BC C , ∴ DC 1⊥面 BDC , ∵DC 1 面 BDC 1 ，∴面 BDC ⊥面 BDC 1 ；由三棱柱 ABC A 1B 1C 1的体积 V =1，∴ （V V 1）:V 1 =1:1 ， ∴平面 BDC 1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1.Ⅱ）设棱锥 B DACC 1的体积为 V 1， AC =1，由题意得，12 21 1= 13。