高一必修二经典立体几何专项试题
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高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示
a a a Aa =A a //a
22直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a
B => a
// b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行。
符号
示：
//
b
//
2、判断两平面平行的方法有三种：
(1) 用定义； (2) 判定定理；
(3)
垂直于同一条直线的两个平面平行。
—
223 — 224直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任
平面与此平面的交线与该直线平行
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题
么它们的交线平行。
符号表示：
//
□ Y =a
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
、、亠 1 注意点：
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
2、 ]
a // b
//
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平 面a 互相垂
直，记作L 丄a ，直线L 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线 L 的垂
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
232平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
a -l- B 或a -AB- B
A
2、
两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平
3、
面垂直。
2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线
平行2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平
面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
17. （本题15分）如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心, P0 底
面ABCD E是PC的中点.
求证：（1）PA//平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
16. (本题10分)
如图所示，在直三棱柱ABC ABG中，ABC 90 , BC CC1 , M、N分别为BB i、
AG的中点.
It
(I)求证：CB1平面ABC1；
(n)求证：MN//平面ABC1.
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是A60、边长为a的菱形，又PD底面ABCD ,
且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN//平面PMB ;
(2)证明：平面PMB 平面PAD ;
(3)求点A到平面PMB的距离.
C
18. (本题12分)
16.(本题10分)如图所示，在直三棱柱 ABC A \B i C i 中， ABC 90 , BC CC i ,
M 、N 分别为BB i 、A i C i 的中点.
(I)求证：CB 1 平面ABC 1 ； (n)求证：MN//平面ABC 1.
侧面BB 1C 1C 丄底面ABC ，且侧面BB 1C 1C 门底面ABC = BC ,
•••/ ABC =90。
,即 AB BC , ••• AB 平面 BB 1C 1C
••• CB,平面 BB 1C 1C , • CB 1 AB .
……2 分
BC CC 1, CC 1 BC , • BCC 1B 1 是正方形，
•- CB 1 BC 1 ,• CB 1 平面ABC 1. ................................................分 (n)取AC 1的中点F ，连BF 、NF . ............................. 5分 在厶AAG 中，N 、F 是中点，
1
1 •- NF//AA ,NF -AA 1，又丁 BM//AA ,BM -AA 1 , •
2
2
NF //BM , NF BM , ......... 6 分
故四边形BMNF 是平行四边形，• MN //BF , .......... 8分
而BF
面ABG , MN 平面ABG , • MN//面ABG ……10分
18.(本题12分)已知四棱锥 P-ABCD ，底面ABCD 是 A 60、边长为a 的菱形，又
解析：(I)在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,
SR
PD 底面ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点.
(1) 证明：DN 〃平面PMB ; (2) 证明：平面PMB 平面PAD ; (3) 求点A 到平面PMB 的距离.
解析：(1)证明：取PB 中点Q ,连结MQ 、NQ ,因为
M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以 QN//BC//MD ，且 QN=MD ，于是 DN//MQ .
所以MB AD 又 _ * _ 一所以MB 平面PAD .
MB 平面PAD
十工 十工
十工
平面PMB 平面PAD. ..................... 8分
MB 平面PMB
(3) 因为M 是AD 中点，所以点 A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作DH PM 于H ，由(2)平面PMB 平面PAD ，所以DH 平面PMB .
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
a
2 a 一5 DH 2
a.
x/5 5
a
2
17. (本题15分)证明(1 )VO 是AC 的中点，E 是PC 的中点， •••OE/ AP,
..................... 4 分
又••• OE 平面BDE PA 平面BDE • PA//平面 BDE ..................... 7 分 (2)••• PO 底面 ABCD • PO BD,
..................... 10 分 又••• AC BD,且 AC PO=O
• BD 平面PAC 而BD 平面BDE ................................... 13分 •平面 PAC 平面BDE
..................... 15分
(2)
PD MB DN 〃MQ MQ 平面PMB DN 平面PMB
(4)
分
平面ABCD PD 平面ABCD
MB
又因为底面ABCD 是 A 60，边长为a 的菱形，且M 为AD 中点,
(1)当点匸为对角线的中点时，点戸的坐标是 ---. 因为点工在线段二'上，设J
a 41
当匚时，丨」的最小值为-'，即点丁在棱二二的中点时，厂有最小值- .
(2)因为产在对角线上三上运动•二是定点，所以当
一匸―…一时，I ’最短.因为当点丁为棱二二的中点时， = 〜丨，一―一是等腰
三角形，所以，当点尸是-：三的中点时，厂取得最小值- .
(3)当点产在对角线上匸上运动，点1在棱二上运动
时，二的最小值仍然是-•
证明：如下图，设■',由正方体的对称性，显然有 '=;•
HP H A勺为_芝
设匸在平面二-上的射影是三•在''中，「二…，所以•“ ，即有
所以，点厂的坐标是—
由已知，可设-一 -，则
I」取得最小值，最小值是
11。