高一必修二经典立体几何专项试题
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高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则
这两个平面平行。
符号表
示:
a
β
b
β
a
∩b =p
β∥
a
∥α
b
∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任
一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那
么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=a a∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平
面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂
面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
17.(本题15分)如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,
PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
D
A B C
O E
P
16.(本题10分)
如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,︒=∠90ABC ,1CC BC =,M 、N 分别为1BB 、
11C A 的中点.
(Ⅰ)求证:11ABC CB 平面⊥; (Ⅱ)求证:1//ABC MN 平面. 18.(本题12分)
已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形,又ABCD PD 底面⊥,且PD=CD ,点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点. (1)证明:DN//平面PMB ;
(2)证明:平面PMB ⊥平面PAD ; (3)求点A 到平面PMB 的距离.
N
M B
P
D C
A
16.(本题10分) 如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,︒=∠90ABC ,1CC BC =,
M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.
(Ⅰ)求证:11ABC CB 平面⊥; (Ⅱ)求证:1//ABC MN 平面.
解析:(Ⅰ)在直三棱柱111C B A ABC -中,
侧面C C BB 11⊥底面ABC ,且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC , ∵∠ABC =90°,即BC AB ⊥,
∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11,∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =,1CC BC ⊥,∴11BCC B 是正方形, ∴11CB BC ⊥,∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 (Ⅱ)取1AC 的中点F ,连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中,N 、F 是中点,
∴1//AA NF ,12
1AA NF =
,又∵1//AA BM ,121
AA BM =,∴
BM NF //,BM NF =,………6分
故四边形BMNF 是平行四边形,∴BF MN //,…………8分
而BF ⊂面1ABC ,MN ⊄平面1ABC ,∴//MN 面1ABC ……10分
18.(本题12分)已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 是ο
60=∠A 、边长为a 的菱形,又
ABCD PD 底面⊥,且PD=CD ,点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点.
(1)证明:DN//平面PMB ;
(2)证明:平面PMB ⊥平面PAD ; (3)求点A 到平面PMB 的距离.
解析:(1)证明:取PB 中点Q ,连结MQ 、NQ ,因为
M 、N 分别是棱AD 、PC 中点,所以
QN//BC//MD ,且QN=MD ,于是DN//MQ .
PMB DN PMB DN PMB MQ MQ
DN 平面平面平面////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊄⊆.
…………………4分
(2)
MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊆⊥平面平面
又因为底面ABCD 是ο60=∠A ,边长为a 的菱形,且M 为AD 中点, 所以AD MB ⊥.又
所以PAD MB 平面⊥.
.PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊆⊥………………8分
(3)因为M 是AD 中点,所以点A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作PM DH ⊥于H ,由(2)平面PMB ⊥平面PAD ,所以PMB DH 平面⊥.
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
.55252a a a
a DH =⨯=
17.(本题15分)证明(1)∵O 是AC 的中点,E 是PC 的中点,
∴OE∥AP, ………………4分 又∵OE ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE ,
∴PA∥平面BDE . ………………7分 (2)∵PO ⊥底面ABCD ,
∴PO ⊥BD , ………………10分 又∵AC ⊥BD ,且AC I PO=O
∴BD ⊥平面PAC ,而BD ⊂平面BDE , ………………13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE . ………………15分
(1)当点为对角线的中点时,点的坐标是.
因为点在线段上,设.
.
当时,的最小值为,即点在棱的中点时,有最小值.(2)因为在对角线上运动.是定点,所以当
时,最短.因为当点为棱的中点时,,是等腰三角形,所以,当点是的中点时,取得最小值.
(3)当点在对角线上运动,点在棱上运动
时,的最小值仍然是.
证明:如下图,设,由正方体的对称性,显然有.
设在平面上的射影是.在中,,所以,即有.
所以,点的坐标是.
由已知,可设,则
.
当时,取得最小值,最小值是.。