例１求下列各数得绝对值:(1)-38; （２)０、15；(3)a(ａ<０)；（4)3b(ｂ＞0）；(5）a－2(ａ＜2）；（6)a－ｂ。
分析:欲求一个数得绝对值，关键就是确定绝对值符号内得这个数就是正数还就是负数，然后根据绝对值得代数定义去掉绝对值符号,(6）题没有给出a与ｂ得大小关系，所以要进行分类讨论.解:（１）｜－3８｜=38;（2）｜＋0、15|=0、１5；(3）∵a<0，∴｜a｜=-a;(4）∵b＞０,∴３b＞0,｜3b｜＝3b;(5)∵a＜2,∴ａ－2<0,｜a-2|＝—(a-2）＝2-ａ;说明:分类讨论就是数学中得重要思想方法之一,当绝对值符号内得数(用含字母得式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论。
例２判断下列各式就是否正确(正确入“T”，错误入“Ｆ”）:(1）｜－a｜=｜a｜；( ）（2）—｜a|=｜－a｜；（）（４）若｜a|=|b|，则a=b; （)（５)若a=b，则|a|=｜ｂ|；(）（６)若｜a|＞｜b｜，则a〉b;（）(7）若a〉ｂ，则｜a｜＞｜b｜;（）（8)若ａ＞b，则|ｂ—a|=a—b. (）分析：判断上述各小题正确与否得依据就是绝对值得定义，所以思维应集中到用绝对值得定义来判断每一个结论得正确性.判数（或证明)一个结论就是错误得,只要能举出反例即可.如第（2)小题中取a＝1,则－｜a|＝－｜1｜＝-1,而｜—a｜＝｜—１｜=1,所以—｜a｜≠|-a|。
同理，在第(６)小题中取a=—1，ｂ＝0，在第（4)、(7)小题中取ａ＝５,b＝-５等，都可以充分说明结论就是错误得。
要证明一个结论正确，须写出证明过程.如第（３）小题就是正确得．证明步骤如下：此题证明得依据就是利用|a|得定义，化去绝对值符号即可.对于证明第（1）、(5)、(8）小题要注意字母取零得情况。
解：其中第(2)、（4)、(6)、(7）小题不正确,（１）、(3）、(5）、(8）小题就是正确得。
说明：判断一个结论就是正确得与证明它就是正确得就是相同得思维过程，只就是在证明时需要写明道理与依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论就是错误得,可依据概念、性质等知识,用推理得方法来否定这个结论,也可以用举反例得方法，后者有时更为简便。
例3判断对错.（对得入“Ｔ”，错得入“F”)(1）如果一个数得相反数就是它本身，那么这个数就是０。
（)（２)如果一个数得倒数就是它本身,那么这个数就是1与0．（）(3)如果一个数得绝对值就是它本身,那么这个数就是0或1。
( ）（４)如果说“一个数得绝对值就是负数”，那么这句话就是错得.( ）（5）如果一个数得绝对值就是它得相反数,那么这个数就是负数.解:（1)Ｔ。
（２）F.—1得倒数也就是它本身，０没有倒数.（3)F。
正数得绝对值都等于它本身，所以绝对值就是它本身得数就是正数与０。
（4）T.任何一个数得绝对值都就是正数或0，不可能就是负数，所以这句话就是错得.(5）F．0得绝对值就是0,也可以认为就是0得相反数，所以少了一个数0．说明:解判断题时应注意两点:（１）必须“紧扣”概念进行判断;（2)要注意检查特殊数，如0，1，-1等就是否符合题意。
例4 已知（a－1)2+｜b+3｜＝0，求a、b．分析：根据平方数与绝对值得性质，式中(a－1)2与｜b+3｜都就是非负数.因为两个非负数得与为“０"，当且仅当每个非负数得值都等于0时才能成立,所以由已知条件必有ａ-１=0且b＋3＝0。
a、ｂ即可求出．解:∵（ａ-1)2≥0,｜ｂ＋3|≥0，又（ａ－1)2+|ｂ+３｜=0∴a-1=0且ｂ＋３=０∴a=1,b=—3。
说明:对于任意一个有理数x，x２≥0与|x｜≥0这两条性质就是十分重要得,在解题过程中经常用到.例5填空:（1）若｜a|＝6,则a＝______;（2）若｜－ｂ|＝０、87，则ｂ＝_____＿；（4）若x＋|x｜＝0,则x就是＿＿___＿数.分析:已知一个数得绝对值求这个数,则这个数有两个，它们就是互为相反数。
解：（１）∵｜a|＝６,∴a＝±6;（2)∵｜－ｂ｜＝０、87，∴b＝±0、８7；(4）∵x+｜x|＝０，∴|x｜＝－x。
∵|x｜≥0,∴—x≥0∴x≤0,x就是非正数.说明:“绝对值”就是代数中最重要得概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值得代数定义，至少要认识到以下四点：（家教４、0,复习辅导“有理数"例32结（１)-（4)）例6判断对错:(对得入“T”，错得入“F”)（1）没有最大得自然数。
（）(2）有最小得偶数0。
( ）（3）没有最小得正有理数．（）（４）没有最小得正整数. ( ）（5)有最大得负有理数. （)(６)有最大得负整数－１。
（）（７)没有最小得有理数．(）(８）有绝对值最小得有理数。
( )解:（1)Ｔ。
（２)F．数得范围扩展后,偶数得范围也随之扩展.偶数包含正偶数，０,负偶数（-２,—4,…)，所以0不就是最小得偶数，偶数没有最小得。
（3)T．（4)F.有最小得正整数1.（５)F．没有最大得负有理数．（6）T.（7)T.(8）T。
绝对值最小得有理数就是0.例７比较下列每组数得大小，在横线上填上适当得关系符号（“＜”“=”“＞"）(1）｜-0、01｜___＿＿_－｜1０0|;（2）-(-３）＿_____－|—３｜;（3）-[－（－90）］_____＿_0；(６）当a＜3时，ａ－3____＿_0;｜3-a｜__＿___a－3.分析：比较两个有理数得大小,需先将各数化简,然后根据法则进行比较。
解:（1）｜—0、01|＞-|1０0｜;(2)－（－3)>－｜—3|；（3)－［－(－9０）］＜0；（6)当ａ＜３时，ａ－３＜0，|3－a|〉a－3。
说明:比较两个有理数大小得依据就是：①在数轴上表示得两个数，右边得数总比左边得数大，正数大于０,大于一切负数,负数小于0,小于一切正数,两个负数,绝对值大得反而小．②两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同,则分子越大分数值越大;也可将分数化成小数来比较。
例8 比较大小：分析：比较两个负分数得大小，按法则,先要求出它们得绝对值,并比较绝对值得大小.（1)这两个数得绝对值就是两个异分母得正分数，要比较它们得大小，需通分;（2）用(1)得方法比较这两个负数绝对值得大小就是非常麻烦得，此法不可取。
通过比较它们得倒数,可以快捷得达到目得。
说明：两个有理数比较大小,当它们都就是负数时,必须通过比较绝对值得大小来确定它们得大小.(１)一定要注意,因为就是两个负数，所以它们得绝对值越大,对应点在数轴得左边离原点得距离就越远，因此它得值就越小.（２)比较两个异分母正分数得大小时，如果通分很麻烦,可以考虑通过比较它们倒数大小得方法间接达到目得。
理论依据例９在数轴上画出下列各题中ｘ得范围：(１)｜x｜≥４；(2）｜x|＜3;（3)２〈｜x｜≤5．分析：根据绝对值得几何意义画图。
例如，｜ｘ｜≥4得几何意义就是:数轴上与原点得距离大于或等于４个单位长度得点得集合;｜x|＜3得几何意义就是:数轴上与原点得距离小于3个单位长度得点得集合.解：（１）|x|≥4，即数轴上x对应得点到原点得距离大于或等于4，如图1。
∴当x＞0时，有x≥4;当x<0时,有x≤－4。
(2）｜x|＜３,即数轴上ｘ对应得点到原点得距离小于3,如图２．即有-3＜x＜３.(3）2〈|ｘ|≤５，即数轴上x所对应得点到原点得距离比2大且小于或等于5,如图3。
即－5≤x＜-2或2〈x≤５.说明:在数轴上表示含绝对值得不等式时，最容易错得就是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件得点得范围．应当认真研究负数部分符合条件得点得范围得画法，并真正做到“理解”.例10 (1）求绝对值不大于２得整数;(２）已知ｘ就是整数,且2、5＜｜ｘ|〈７,求x.分析:(1)求绝对值不大于2得整数,就就是求数轴上与原点得距离小于或等于2个单位长度得整数点。
(2)因为２、5＜|x|＜7中得x表示得就是绝对值小于7同时绝对值又大于2、5得整数，所以，依绝对值定义应该就是满足－7＜x<—2、５,或２、５<x＜7得所有整数.解：(1)先画出数轴上与原点得距离小于或等于2得点得范围。
由图瞧出,绝对值不大于２得整数就是：-2,—1，0，1,2（2）符合2、5<|x｜＜7得所有整数,就就是符合-7〈x＜—２、5或２、5<x<7得所有整数．由图瞧出,符合2、５＜｜x｜<7得整数就是:x=±3,±4，±5,±6．说明:因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值得问题时要注意灵活运用这两个定义.此题也可以用代数定义求解.根据绝对值得几何定义，用数形结合得思想,把有关绝对值得问题转化为数轴上得点与原点得距离问题来解决，就是经常采用得方法.例1１已知a、b、ｃ所表示得数如图所示:（１）求｜ｂ｜,｜c｜,|b＋1｜,|a－c|；*（2)化简｜a-b｜－|－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b|．分析:由图知a<－1＜b＜0,0〈c＜1。
根据以上条件，先确定绝对值符号内得数就是正数还就是负数，然后再化简。
解：由图知ａ＜0,ｂ＜０,c>０,且b>－1,a＜ｃ，a＜b,c〈1，c＞b，∴b＋1＞０,ａ－c＜０,ａ-ｂ<0，ｃ—1＜0，c-b>0(1）｜b｜=—b,｜c｜=c,｜b＋１|=b＋1｜a—c｜＝—(ａ－ｃ）＝c－a（2)｜a-b|—｜-a｜+｜c－1|＋|c－ｂ|＝(b—a）－（—a)+（１-c)+(c-b)＝b-a＋a＋1—c＋ｃ－b=１说明：（1)a—b得相反数就是—(a－b)＝ｂ－a.a＋b得相反数就是－(a+b)＝—a-b。
(2)｜ａ－ｂ｜得几何意义就是：数轴上表示数a、ｂ得两个点之间得距离.不同得两个点之间得距离总就是一个正数，等于“较大得数减较小得数"得差.例12 解方程：（1）已知｜14—x｜=６,求x；*（2)已知|ｘ+1|+4=2x,求x。
分析：解简单得含有绝对值符号得方程，一般都根据绝对值得代数定义，先化去绝对值符号,然后求解。
（2）题需把原方程转化为｜ｘ＋1｜=2x－4得形式后,才便于应用绝对值得代数定义.解：（１)∵|1４－x|=｜x－14｜＝6∴x—14＝±6当x-１4=6时，x=２0;当x－14＝－６时，ｘ=8．∴x=20或８．（２)∵｜x＋１|＋4=2ｘ∴｜x+１｜＝2x－4∵｜ｘ+1｜≥0,∴2x-4≥0，x≥2。
∵x≥2，∴x＋1〉0,｜ｘ＋1|=ｘ＋1．原方程变形为x+１＋４＝2ｘ∴x=5．＊例13化简｜ａ+2｜－｜a－３|分析:要化简此式，关键就是依据绝对值定义判断好绝对值符号内ａ＋２与ａ－3在a取不同数值时它们得符号情况，才能正确地转化为不含绝对值得式子.为了能达到此目得,首先应判定｜a＋2｜＝0与｜ａ—3｜＝０时ａ得取值,即ａ=—２与ａ=3，由此可知，a得取值可分为三种情况：即a＜－２，－2≤a＜3，a≥3.这时｜ａ＋２|与|a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同得去掉绝对值符号后得新形式了。