2021年高二上学期9月月考数学（文）试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是．2．过（﹣5，0），（3，﹣3）两点的直线的方程一般式为．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．4．直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，则实数m= ．5．圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的方程为．6．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．7．已知直线过点（2，3），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为．8．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为．10．下列命题正确的序号是；（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β则α⊥β11．已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围为．12．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．13．若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0，求BC所在直线．16．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）平面BDD1⊥平面AB1C．17．（1）已知△ABC顶点A（4，4），B（5，3），C（1，1），求△ABC外接圆的方程．（2）求圆心在x轴上，且与直线l1：4x﹣3y+5=0，直线l2：3x﹣4y﹣5=0都相切的圆的方程．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．xx学年江苏省徐州市邳州市运河中学高二（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，可得，即可得出．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴，∵θ∈[0，π），∴．故答案为：．2．过（﹣5，0），（3，﹣3）两点的直线的方程一般式为3x+8y﹣15=0．【考点】直线的一般式方程；直线的两点式方程．【分析】根据所给点坐标的特点，可以用直线的两点式求直线方程，再化一般式即可．【解答】解：因为直线过（﹣5，0），（3，﹣3），所以直线的方程为=，化为一般式为3x+8y﹣15=0，故答案为：3x+8y﹣15=0．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是①④．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由平行公理知①正确；由a⊥b，b⊥c，知a与c平行、相交或异面；由直线与平面平行的性质，知a与b平行、相交或异面；由直线与平面垂直的性质知a∥b．【解答】解：∵若a∥b，b∥c，∴由平行公理，知a∥c，故①正确；∵a⊥b，b⊥c，∴a与c平行、相交或异面，故②不正确；∵a∥γ，b∥γ，∴a与b平行、相交或异面，故③不正确；∵a⊥γ，b⊥γ，∴a∥b，故④正确．故答案为：①④．4．直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，则实数m=．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×（2﹣m）﹣2m=0，解之可得．【解答】解：因为直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，所以1×（2﹣m）﹣2m=0，解得m=故答案为：5．圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的半径，即可写出圆的标准方程．【解答】解：圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的半径为：=．所以申请的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．6．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为7．已知直线过点（2，3），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0．【考点】直线的截距式方程．【分析】当直线经过原点时，直线方程为：y=x．当直线不经过原点时，设直线方程为： +=1，把点P（2，3）代入解得a即可得出．【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：y=x．当直线不经过原点时，设直线方程为： +=1，把点P（2，3）代入+=1，解得a=4．∴直线方程为x+2y=8．综上可得直线方程为：3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0，故答案是：3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0．8．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出AC⊥平面BB1D1D，从而四棱锥A﹣BB1D1D的体积V=，由此能求出结果．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴四棱锥A﹣BB1D1D的体积：V====．故答案为：．10．下列命题正确的序号是（1）（3）（4）；（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】根据线线垂直、线段垂直的几何特征，及面面垂直的判定方法，我们可判断（1）的正误，根据线面垂直，面面垂直及平行的几何特征，我们可以判断（2）、（3）、（4）的真假，进而得到结论．【解答】解：若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊥β，则α⊥β，故（1）正确；若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行也可能相交，故（2）不正确；若α⊥γ，则存在直线a⊂α，使a⊥γ，又由β∥γ，则a⊥β，进而得到α⊥β，故（3）正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又由m⊂β，则α⊥β，故（4）正确；故答案为：（1）、（3）、（4）11．已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围为1＜m＜121．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，即可求出m的范围．【解答】解：x2+y2=m是以（0，0）为圆心，为半径的圆，x2+y2+6x﹣8y﹣11=0，（x+3）2+（y﹣4）2=36，是以（﹣3，4）为圆心，6为半径的圆，两圆相交，则|半径差|＜圆心距离＜半径和，|6﹣|＜＜6+，|6﹣|＜5＜6+，5＜6+且|6﹣|＜5，＞﹣1 且﹣5＜6﹣＜5，＞﹣1 且1＜＜11，所以1＜＜11，那么1＜m＜121，另，定义域m＞0，所以，1＜m＜121时，两圆相交．故答案为：1＜m＜12112．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．13．若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．【考点】曲线与方程．【分析】曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，分类讨论求得当直线y=﹣x+b与曲线x=即恰有一个公共点时b的取值范围．【解答】解：曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆．当直线y=﹣x+b经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1，当直线y=﹣x+b经过点B（0，1）时，求得b=1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=﹣x+b的距离等于半径，可得=1=1，求得b=，或b=﹣（舍去）．故当直线y=﹣x+b与曲线x=即有一个公共点时b的取值范围是，故答案为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣5，5）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由条件求出圆心，求出半径，由数形结合，只需圆心到直线的距离圆心到直线的距离小于半径和1的差即可．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为O，半径等于2，圆心到直线的距离d=，要使圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，应有＜2﹣1，即﹣5＜c＜5，故答案为（﹣5，5）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0，求BC所在直线．【考点】直线的一般式方程．【分析】先由AB的中点公式求出B点的坐标，再由AC与BE的交点求出C点的坐标，从而求出直线BC的方程．【解答】解：由题意可设B（﹣3a﹣4，a），则AB的中点D（，）必在直线CD上，∴+=0，∴a=0，∴B（﹣4，0），又直线AC方程为：y﹣2=3（x﹣2），即y=3x﹣4，由得，C（1，﹣1）．则BC所在直线为x+5y+4=0．16．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）平面BDD1⊥平面AB1C．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）记AC与BD交于点O，连接EO．证明BD1∥OE，然后证明BD1∥平面EAC．（2）通过DD1⊥AC，AC⊥BD，推出AC⊥平面BDD1，然后证明平面EAC⊥平面BDD1．【解答】证明：（1）记AC与BD交于点O，连接EO．∵O，E分别是BD，DD1的中点，∴BD1∥OE…∵OE⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，∴BD1∥平面EAC…（2）∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∵DD1⊥AC…又∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDD1…17．（1）已知△ABC顶点A（4，4），B（5，3），C（1，1），求△ABC外接圆的方程．（2）求圆心在x轴上，且与直线l1：4x﹣3y+5=0，直线l2：3x﹣4y﹣5=0都相切的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】（1）由题意设出圆的一般式方程，把三点的坐标代入，求出D、E、F的值得答案；（2）设所求圆的圆心为（a，0），半径为r（r＞0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，由圆心到直线的距离列式求得a，r的值得答案．【解答】解：（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵点A，B，C在所求的圆上，∴，解之得．故所求圆的方程为x2+y2﹣6x﹣4y+8=0；（2）设所求圆的圆心为（a，0），半径为r（r＞0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，则由题设知：，解得或．∴所求圆的方程为x2+y2=1，或（x+10）2+y2=49．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BDEC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BDEC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．【考点】点与圆的位置关系；中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】（1）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l1的方程；（2）l1的倾斜角为，直接求出l1的方程，利用直线l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l1垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；（3）l1与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l1的直线方程．【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．∵∴∴M点坐标（4，3）．（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆．又∵三角形CPQ面积∴当d=时，S取得最大值2．∴．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【分析】（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．【解答】解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA2的方程是：y=（x﹣r）．…解得．…解得．…于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…xx年12月8日]25302 62D6 拖22539 580B 堋38166 9516 锖31191 79D7 秗35041 88E1 裡%27535 6B8F 殏,m (27619 6BE3 毣39144 98E8 飨。