函数定义域与值域1.函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射。
看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f : 映射与函数的区别：3.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系4.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等5 区间的表示：],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x6 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素：定义域、值域、解析式二 典型例题例1．若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( )变式：设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 例2．给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A=-=-,中的数的平方; ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A==-,中的数的开方; ③Z,:A B Q f A ==,中的数的倒数;④{},:A R B f A==正实数,中的数取绝对值; ⑤{}{}1234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中; 其中是A 到B 的函数有 个．例3、下列各组函数表示同一函数的是( )①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1}A.①③B.①C.②④D.①④例4、求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=+- ⑵211()1x y x -=-+ ⑶021(21)4111y x x x =+--+-例5．若函数)12(-x f 的定义域为[]3,3-，则()f x 的定义域为 ____________．变式1、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
2．知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
例5．已知函数2,0(),00,0x x f x x x π⎧>⎪==⎨⎪<⎩，则((3))f f -=（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．9例6．设函数()22,22,2x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()38f a =，则a = ．例7求函数的解析式1．若2)12(x x f =-，求)(x f2．若12)1(2+=+x x f ，求)(x f3．若一次函数)(x f 满足x x f f 21)]([+=，求)(x f变式：根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 (1)221)1(xx x x f +=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2++=-x x x f例8求下列函数的值域。
()()[)3,1,121∈-=x x x f()()[)4,1,3422∈+-=x x x x f()()[)5,3,223∈-=x x x f()()124+-=x x x f例9、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞)D 、[0, 43)例10 、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤课后练习1、下列四个图像中，是函数图像的是（ ）。
A ．（1）B ．（1）、（3）、（4）C ．（1）、（2）、（3）D ．（3）（4） 2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， 33()g x x =；⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸3．设集合B A ,是两个集合，①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,；②{}{}x y x f R y y B x x A ±=→∈=>=:,,0；③{}{}23:,41,21-=→≤≤=≤≤=x y x f y y B x x A .则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 4．下列各组函数表示相等函数的是（A ）392--=x x y 与3+=x y （B ）12-=x y 与1-=x y（C ）)0(0≠=x x y 与)0(1≠=x y （D ）Z x x y ∈+=,12与Z x x y ∈-=,12 5．函数f （x ）=xx 212-的定义域为（ ）A ．（0，2）B ．（-∞，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（0，]∪[2，+∞）6．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（ ） A ．（﹣1，1） B ．(-1,-21) C ．（﹣1，0） D ．(21,1) OyxxyyyOOO（1）（2）（3）（4）7．函数1()1f x x =+的定义域是（ ） A ．(,1)-∞-∪1+∞（-，） B. [3,)-+∞C. [3,1)--∪(1,)-+∞D.(1,)-+∞8．已知函数y=f （2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f （x+1）的定义域是（ ） A ．[﹣1，1] B ．[0，2] C ．[﹣2，0] D ．[﹣2，2]9．函数03()()2f x x =--的定义域是（ ）． A ．33(2,)(,)22-+∞ B ．3(2,)2-C ．3(,)2+∞ D ．(2,)-+∞10．已知()23231f x x x -=-+,则()1f =（ ）A ．15B ．21C ．3D ．011．已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1()f x N +=∈，猜想()f x 的表达式为（ ）A ．422x + B ．21x + C ．11x + D ．221x + 12．若2f (x)+f (-x) =3x ，则函数的解析式为()f x =13．已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为()f x ＝___________． 14．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 ． 15．已知2(1)f x x -=，则 ()f x = ．16． 函数y =的定义域为 .17．函数562---=x x y 的值域为 18、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。
19．设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；20．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x21 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；22．已知函数()a ax x x f +-=22．（1）当1=a 时，求函数()x f 在[]3,0上的值域；（2）是否存在实数a ，是函数()a ax x x f +-=22的定义域为[]1,1-，值域为[]2,2-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．23．已知函数()()14,12+=+=x x g x x f 的定义域都是集合A ，函数()x f 和()x g 的值域分别为S 和T ．（1）若[]T S A ⋂=求,2,1；（2）若[]m A ,0=且T S =，求实数m 的值；（3）若对于集合A 的每一个数x 都有()()x g x f =，求集合A ．24．求函数23y x =-+25．（1）求函数y =（2）求函数322+-=x x y 在区间[]3,0上的值域．26．已知二次函数bx ax x f +=2)(满足,0)2(=f 且方程x x f =)(有等根． （Ⅰ）求)(x f 的解析式； （Ⅱ）求)(x f 的值域；（Ⅲ）是否存在实数m 、)(n m n <，使)(x f 的定义域为],[n m 、值域为]4,4[n m ．若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由．。