圆锥曲线联立及韦达定理
1、圆锥曲线与直线的关系
椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22
221x y a b +=(0)a b 双曲线：22
221x y a b
-=(0)a b 、
直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)
（1）椭圆与双曲线联立：
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
+++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)
类一元二次方程：2
0Ax Bx C ++= 2
221()k A a b
=+，所以0A ，即方程为一元二次方程。

判别式：24B AC ∆=- 22
2222221()4()(1)km k m b a b b
∆=-+- 化解得：22
222214()k m a b a b
∆=+- 1) 当0∆，方程无实根，直线与椭圆没有交点；
2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；
（相切是因为重根，而不是只有一个根）
3) 当0∆
，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.
（2）双曲线与直线联立：
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b
=- 22
222214()k m a b a b
∆=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）
2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线
的平行线）
3) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；
4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；
5) 当0,0A ≠∆
时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.
PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！
2、联立方程与韦达定理
（1）韦达定理：
20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥
12B x x A +=-， 12C x x A
=，
12x x A
-==
（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：
2
2
2222212()10k km m x x a b b b +++-=
2
12222
21km
b x x k a b -+=+；
2
212222
1
1m b
x x k a b -=+；
1222
x x a b -=+
由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：
121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++
22
222222
212()
1k m k m b a b k a b -++=+
2
12222
21m
a y y k a
b +=+；
2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++
222
22222222
21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b -+-++=+ 222122
221m k a y y k a b -=+； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-
1222
y y a b -=+；
（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：
2
2
2222212()10k km m x x a b b b
----= 2122
2221km
b x x k a b
+=-； 2
212222
11m b x x k a b --=-；
1222
x x a b -=- 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：
121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++
22
2222
22
212()1k m k m b
a b k a b +-=-
21222221m
a y y k a b
+=-； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++
222
22222222
21(1)()()1m km k k km m b b a b k a b --++-=- 2
2
2122
221m k a y y k a b -=-； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-
1222
y y a b -=-；
PS ：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2
b 项变号。

原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是22
2221x y a a c +=-。

椭圆中22a c ，令222b a c =-；双曲线中
2
2a c ，令222b a c -=-。