4.2 多自由度系统的固有频率与主振型自由振动微分方程：
设它为：
可得如下主振型方程
（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得
可化为
）可化为
）就有着相同的形式。

柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有
或
两种系统矩阵之间有着互逆关系：
、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。

振型问题。

鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。

征方程。

对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：
（4-20）的特征根，亦称矩阵的特征值。

特征值与系统固有频率之间有如下关系：
可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。

但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有
上述结论。

半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。

所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征
18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。

这样，对于任何一个自由度系征矢量）。

统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。

事实上，按逆阵的表示，有
中各列与充其量只相差一个常数乘子。

统中，有，。

求系统的主振型。

（4-23）中第三列正是取为基准的主振型：
23），可得
得
形式：
，是特征值。

在大多数算法中还假设是对称阵。

17）都具有（4-24）式的形式。

不过无论是还是一般都不是对称阵。

为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。

的实对称阵，它总可以分解为
转置阵。

）与（4-17），得
是对称阵，并且与系统矩阵有着相同的特征值。

事实上，是由对称阵经变换（4-27）得来的，按矩阵乘积的的转置规则，
（4-30）
阵经变换（4-30）得来的。

因为
有着相同的特征值。

不过，这时的特征矢量已不同于特征矢量，但如果求出后，就不难通过逆变换：
，对式（4-25）求逆，有
，式（4-32）可改写为
系统矩阵已是对称阵，且有
着相同得特征值。

换将大为简化。

这时有
为中对应元素的平方根；的元素分别为中对应元素的倒数。

从而有
统中有，，。

试将系统矩阵化为对称阵。

为
，
数的一个专题。

已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。

关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著
交性。

这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩阵的加权正交性，即当时，有
，
个与第个主振型，因而有
，
二式前乘以，然后两者相减，可得
）中的第一式得证；同理可证明其第二式。

取何有限值，式（4-38）恒成立，因而可取
，
，
包含一个任意常数乘子，因而可以选取归一化振型，使式（4-39）中各个都等于1，这时各个就等于。

/jp2009/04/wlkc2/dd04/4-2.htm。