1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2

1 3
cos1t

1 3
cos2t

1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2

C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1

1 3
cos1t

2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l

2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2

0
0 ml
2

1((2ii
) )

mgl ka2
)
(k2l2 k1l1 k1l12 k2l22
)
x



0 0
可见其耦合为静力耦合或弹性耦合。
(4.2-2)
4.2 静力耦合与动力耦合
情况2：既有弹性耦合又有动力耦合
现在以弹簧支承 处的位移x1与x2为广 义坐标来建立振动微 分方程。
因 为 x1 与 x2 同 x

12


0 0
可以看出这是静力耦合系统。其特征值问题为
2
ml

0
2
0 ml
2

12


mgl ka2

ka2
ka2 mgl ka
2

12


0 0
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
从而得特征方程为
mgl ka2 2ml 2
ka2

det
ka2
mgl

k a2


2ml
2

(mgl ka2 2ml 2 )2 (ka2 )2 0
即
mgl ka2 2ml2 ka2
(k1 k2 (k1a2
)xO 0
k2b2 )

0
(4.2-11) (4.2-12)
m memeIO xO



k1
0
k2
k1a2
0
k2b2


xO



0 0
可见其耦合为动力耦合或惯性耦合。
4.3 任意初始条件的自由振动
(1)设在t=0时，有x10=x20=1，x10 x20 0； (2)设在t=0时，有x10=1，x20=-0.5，x10 x20 0 ； (3)设在t=0时，有x10=1，x20=0，x10 x20 0。
解：(1)将初始条件代入方程(4.1-17)及其导数方程 (4.3-1)，得

x1 cos2t cos

5k 2m
t,

x2 0.5cos2t 0.5cos

5k 2m
t
可见振动系统按第二阶固有振型作简谐振动。
(3)将初始条件代入方程(4.1-17)及其导数方程(4.3-1)，
有
1 C1 sin1 C2 sin2
0 C1 sin1 0.5C2 sin2
或 k1xOa k2xOb (4.2-8)
k1a k2b
(4.2-9)
因为x与xO之间有关系:
x xO e
图 4.2-2
(4.2-10)
4.2 静力耦合与动力耦合
情况3：动力耦合
将x与xO的关系代入方程(4.2-1)，并考虑到l1=a-e， l2=b+e ， IO=IC+me2 和 方 程 (4.2-1) 第 一 式 ， 且 利 用 对 O 点
代入方程(4.1-17)，得

x1 cos1t cos

k m

,

x2 cos1t cos

k m
可见振动系统按第一阶固有振型作简谐振动。
(2)将初始条件代入方程(4.1-17)及其导数方程(4.3-1)，
有
1 C1 sin1 C2 sin2
整理后得
m
l2
x1 l1

l1x2 l2


k1
x1

k2
x2
IC

x1 l1

x2 l2


k1l1x1

k2l2
x2



(4.2-5)
ml2x1 ml1x2 k1(l1 l2 )x1 k2 (l1 IC x1 IC x2 k1l1(l1 l2 )x1 k2l2 (l1
初始条件响应的求解式
两自由度系统的自由振动规律依赖于初始条
件x2。(0)若给x20定，初并始将条其件代x1入(0方)=x程10(,4x.21(-01)7=)x及20,其x1导(0)数(4x1.03 -1)，可以确定系统对初始条件的响应。
x1 x2

C1 sin(1t C1r1 sin(1t
4.2 静力耦合与动力耦合
耦合项概述
◆一般情况下，两自由度以上的振动系统的微分方 程组都会出现耦合项，如果以矩阵形式表示，则耦合项 体现在非对角元素上。
◆对于同一个系统，选取坐标的不同，列出的系统 运动方程的具体形式就不同。但不会影响到系统的性质， 其固有特性不变。
◆振动微分方程通过刚度项来耦合，称为静力耦合 或弹性耦合。振动微分方程通过质量项来耦合，称为动 力耦合或惯性耦合。
2
(4.3-2b)
1

tan -1
1 r2 x10 x20
r2 x10 x20
(4.3-2c)
2

tan -1
2 r1 x10 x20
r1 x10 x20
(4.3-2d)
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
例4.3-1 在例4.1-1中，求系统在下面三种不同初始 条件下的自由振动规律。
叠加，频率1和2的简谐振动同时发生，不仅不再是简
谐振动，而且也不是周期振动。
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
例4.3-2 如图4.3-1a所示的双摆，由两个摆长均为l， 质量均为m的单摆组成。上端用铰悬挂，中间距悬挂点 为a处，用刚度为k的弹簧相连，两摆在铅垂位置时弹簧 没有变形。求 (1)系统的固有频率和固有振型；(2)当t=0
时, 1=0, 2=0, 1 2 求0 系统自由振动的响应。
解：(1)取两
摆离开铅垂平衡
位置的角位移1 与2为广义坐标，
以逆时针方向为
正。
图 4.3-1
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
任一瞬时位置，两个摆上所受的力如图4.3-1(b)所
这是一组未知量为C1, C2和1, 2的四元一次代数
方程组，解之得
4.3 任意初始条件的自由振动
初始条件响应的求解式
C1

r2
1
r1
r2 x10

x20
2

r2x10
12
x20
2
(4.3-2a)
C2

r1
1
r2
r1x10

x20
2

r1x10 x20
22
示。由转动方程式分别列出两个摆的振动微分方程为
ml21 mgl1 ka2 (2 1) ml22 mgl2 ka2 (2 1)
写成矩阵方程为
ml 2

0
0 ml
2

12



mgl ka ka2
2
ka2 mgl ka2
与有如下关系：
图 4.2-1
x1 x l1 , x2 x l2 变换后得
x l2 x1 l1x2 , l1 l2
x1 x2
l1 l2
(4.2-3) (4.2-4)
4.2 静力耦合与动力耦合
情况2：既有弹性耦合又有动力耦合
将其代入方程(4.2-1)，得
l2 )x2 l2 )x2

0 0
(4.2-6)
写成矩阵形式