2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.6二次函数的应用（1）抛物型问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•大安市期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）
A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m
2．（2019秋•江岸区校级月考）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的
关系是y=−1
12
x2+23x+53，则此运动员把铅球推出多远（）
A．12m B．10m C．3m D．4m
3．（2020•武汉模拟）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单
位：s）之间的函数关系式为h=−40
9（t﹣3）
2+40，若后抛出的小球经过2.5s比先抛出的小球高
10
3
m，
则抛出两个小球的间隔时间是（）s．
A．1B．1.5C．2D．2.5
4．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y ＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）
A ．1米
B ．32米
C ．2米
D ．13
8米
5．（2020•丰台区模拟）向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx +c
（a ≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒
6．（2019秋•博山区期中）如图，从某建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛
物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面
403m ，则水流落地点B 离墙的距离
OB 是（ ）
A ．2m
B ．3m
C ．4m
D ．5m
7．（2020•裕华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单
位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ；
②小球运动的时间为6s ；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t ＝1.5s 时，小球的高度h ＝30m ．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
8．（2019秋•汾阳市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）
A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米
9．（2020•江汉区校级一模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽
OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−1
6x
2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需
要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（）
A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m
10．（2009•萧山区校级模拟）有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）
A．2.76米B．6.76米C．6米D．7米
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋•南京期末）从地面竖直向上抛出一个小球．小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t﹣4t2．小球运动的高度最大为m．
12．（2020•长春模拟）如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为．
13．（2018秋•富裕县期末）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝m．
14．（2019秋•建湖县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个隧道入口的最大高度为m（精确到0.1m）．
15．（2020•李沧区模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为9m ，则水管的长度OA 是 m ．
16．（2020•长春一模）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则
当水面下降1米时，水面宽度增加 米．
17．（2020•长春模拟）如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，
喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为 m ．
18．（2020•老河口市模拟）某幢建筑物，从5米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线
所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面
203米，则水流下落点B 离
墙距离OB 是 m ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
20．（2019秋•德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m．
（1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
21．（2019秋•西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
22．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
23．（2020•市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以
用y=−1
5x
2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，
24
5
），C（5，
21
5
）．
请根据以上信息，解答下列问题：（1）求抛物线的函数关系式；（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E 处，安装一直角形钢架GEF 对遮阳棚进行加固（点F ，G 分别在x 轴，y 轴上，且EG ∥x 轴，EF ∥y 轴），现有库存10米的钢材是否够用？
24．（2020•仙居县模拟）新型冠状肺炎给人类带来了灾难．口罩是抗击新冠肺炎的重要战略物资，国家在
必要时进行价格限制，以保持价格稳定．某公司生产的口罩售价与天数的函数关系如图所示（曲线部分是以y 轴为对称轴的抛物线一部分）．
（1）求口罩销售价格y （元）与天数x （天）之间的函数关系式．
（2）若这种口罩每只成本z （元）与天数x 之间的关系为：z ={−1
400(x −20)2+1.5(0≤x ≤30)1.25(30＜x ≤50)
．那么这种口罩在第几天售出后单只利润最大？最大利润为多少？。