不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1.含有绝对值的不等式的解法(１)|ｆ(x)|>ａ（ａ>0)⇔f(ｘ）>a或ｆ（ｘ)<-ａ；(2）|ｆ(x)|＜a(a>０)⇔-a<f(x)<a．(3)对形如|ｘ-ａ|+｜x-b|≤c，|x－a｜＋|ｘ-ｂ｜≥ｃ的不等式,可利用绝对值的几何意义求解.2. 含有绝对值的不等式的性质｜a｜－|ｂ｜≤｜ａ±b|≤|ａ|+｜b|.3．柯西不等式(1)设a，b,c，d均为实数，则(a2+b2)(ｃ2＋ｄ2)≥(ａc+bd）２，当且仅当aｄ＝bc 时等号成立.(2）若a i,b i(i∈Ｎ*)为实数，则(错误!a错误!）（错误!b错误!）≥（错误!ａi b i)２,当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!(当某b j=0时，认为ａj＝0,ｊ=1,2，…，n)时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式:设α，β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥｜α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立.4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.练习精细选1．若关于实数x的不等式｜ｘ-5｜＋|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是＿_＿＿．答案(-∞,８]解析∵｜ｘ－５|+｜ｘ＋3｜＝|5－x|+|x+３|≥|５－x＋x+３|=8，∴(|x-５|＋|x+３｜）ｍin＝８,要使|x-5|+|x＋３｜<a无解，只需ａ≤8.2．(20１3·江西）在实数范围内,不等式|｜x－2|-1|≤1的解集为________.答案[0,4]解析由|｜x-2|-1|≤1得－1≤|ｘ-2|－1≤1，解错误!得０≤x≤４.∴不等式的解集为[0,４]．ﻬ3.已知a,ｂ,m,n均为正数,且a+b＝1,mｎ＝2,则（am＋bｎ)(bｍ+an)的最小值为____＿_＿＿.答案２解析由柯西不等式(a2＋ｂ２)（ｃ2+ｄ2)≥(ａｃ+bd)2,当且仅当aｄ＝bｃ时“＝”成立，得(am+bｎ)(ｂm＋ａn)≥（＼r(aｍ)·an＋＼r（ｂm)ｂn）2=ｍn（a＋b）２=2．４.若不等式|ｋx－４|≤2的解集为｛x|１≤x≤3}，则实数k=＿_______．答案 2解析∵|kx－4｜≤２,∴－2≤kx－４≤２,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x｜1≤x≤3｝,∴k＝２.５．设x，y∈Ｒ,且xy≠0,则错误!·错误!的最小值为_＿_____＿.答案9解析错误!错误!=5+错误!＋4x2y２≥5＋２错误!＝9,当且仅当x2ｙ2=错误!时“=”成立.三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+ａ|,g(x)＝x+3．（１)当a=-２时,求不等式ｆ(x)＜g(x)的解集;(2)设a>－１,且当x∈错误!时,ｆ（x)≤g(x）,求a的取值范围．审题破题(1）可以通过分段讨论去绝对值;（2)在ｘ∈错误!时去绝对值,利用函数最值求a的范围．解(１)当a＝－２时，不等式ｆ（x)＜ｇ(x)化为|2x-１｜+|２x－2|－x-3<０.设函数y=|2x－１｜＋|２ｘ-2|-x-3,则y=错误!其图象如图所示,由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)∵a>-1,则－＼f(a，2）<错误!,∴f(ｘ)=|２x－1|＋|2ｘ＋a|当x∈错误!时，ｆ(ｘ)＝a+１，即a+1≤x＋３在ｘ∈错误!上恒成立．∴ａ+１≤－＼f（a,２)＋３,即a≤＼ｆ(4,3）,∴a的取值范围为错误!.点评:这类不等式的解法是高考的热点．（1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2）用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.变式训练1已知函数f(ｘ)=|x＋1｜+|x-２｜-m.（１)当m＝５时,求f（x）>0的解集;（2)若关于x的不等式ｆ(x)≥2的解集是R，求ｍ的取值范围．解(1)由题设知|x＋1|+|x-2|>5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:错误!或错误!或错误!解得函数ｆ(x)的定义域为(-∞，-2)∪(３，+∞)．（2)不等式f(x)≥2即｜x＋1|＋|x-2｜＞m＋２,∵x∈Ｒ时,恒有|ｘ＋1|+|x-2|≥|(ｘ+1)－（x－2)|=3,不等式|x＋1|+|ｘ－２|≥ｍ+2解集是Ｒ,∴ｍ＋２≤３，ｍ的取值范围是（－∞，1]．题型二不等式的证明例2已知函数f(ｘ)=ｍ－|ｘ－2|，m∈R,且f（x＋2）≥0的解集为[-1,1]．(1）求m的值;(2）若a，b,c∈R＋,且错误!＋错误!＋错误!=m，求证:a+２ｂ+３ｃ≥９.审题破题(１)从解不等式ｆ(x+2)≥0出发,将解集和[-1，1]对照求ｍ；(2）利用柯西不等式证明．(1)解因为ｆ(x+2）=m-|x|,f(x＋2)≥0等价于|x｜≤m.由｜ｘ|≤ｍ有解,得m≥0，且其解集为｛ｘ|-m≤x≤m｝.又ｆ（x+2)≥0的解集为[-1，1],故ｍ=１.(2）证明由（1)知错误!＋错误!＋错误!＝1,又ａ，b,c∈R＋,由柯西不等式得ａ＋2b+３c=（a＋2b＋3c)错误!≥错误!2＝9.点评:不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法,其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式,证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．变式训练2 已知f（x)=|x＋1|＋|x-１｜，不等式f(x)<４的解集为M.（1)求M;(2)当a，b∈M时,证明:2|a＋b｜<｜4+ab｜.（1）解ｆ(x)=|x＋1|＋|x－１|＝错误!当x<－1时,由－２ｘ＜4，得－２<x<-1;当-1≤x≤1时,f(x)＝2<4;当x>1时,由２ｘ<4，得１＜x<2.∴Ｍ＝(－２,2）．（2)证明a,b∈M，即－2<a＜２，-2<b＜2，∴４（ａ＋b)2－(4+ａｂ）2＝4(a2+2ab＋b２）-(16+８ab＋ａ2b2)＝（a２-4）(4-b2)<0，∴4(a+b）2<（4＋aｂ)2，∴2|a+b｜<|4+ab|.题型三不等式的综合应用例3已知f(ｘ)=｜ａｘ＋１|(a∈Ｒ),不等式f(x）≤3的解集为{x|－２≤ｘ≤1}.（1)求a的值；（2)若错误!≤ｋ恒成立,求k的取值范围．审题破题(１)|ax+1|≤3的解集为[－2,1]，对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立问题．解(１）由|ａx＋1｜≤3得-4≤ａx≤2．又f(x)≤３的解集为{ｘ|－2≤x≤1｝，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－4ａ≤ｘ≤错误!，得a=2.（2)记ｈ（ｘ）＝ｆ(x)-2f错误!,则ｈ(x）=错误!所以|h(ｘ)|≤１,因此k≥1．点评：不等式f(ａ)≥g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于∀ａ∈Ｒ恒成立，则f(a)的最小值大于等于g（x)，再解关于x的不等式求x的取值范围;如果对于∀ｘ∈Ｒ不等式恒成立，则g(x)的最大值小于等于ｆ(a),再解关于ａ的不等式求a的取值范围．变式训练３已知函数f(x）＝ｌog2(|ｘ－１|+｜x－5|-a).(1)当a=2时，求函数ｆ（x)的最小值；(2)当函数f(ｘ）的定义域为R时,求实数ａ的取值范围．解(1)函数的定义域满足:|x－1|＋|x-5|-a>０，即｜ｘ－1|+|x－5|>a＝2．设g（x)＝|x－1|+|x－５|，则g(x)=|x－1|+|x-5｜=错误!ｇ(x)min＝4>ａ=2，f(x)miｎ=lｏg2(４－2）＝1.(2)由(1)知,g(x)＝|x－1｜＋｜ｘ-5|的最小值为4,|x-1|＋｜x－5|-a>0，∴a<４，∴ａ的取值范围是(-∞，4).四、阅卷评析典例(10分)设f（x)=|x|＋2｜x-a|(a>0)．(1)当ａ＝１时,解不等式f（x)≤８；(2)若f（ｘ)≥6恒成立，求正实数a的取值范围.规范解答解(1）f(ｘ)＝|x|+2|ｘ-1｜＝错误!当x<0时，由2－3x≤8,得－2≤ｘ<0；当0≤ｘ≤1时,由2-x≤８,得0≤x≤1；当ｘ>1时，由3ｘ－２≤8，解得1<x≤103.综上，不等式f(ｘ)≤8的解集为错误!.[５分］（2)因为ｆ(x )=|x |+2|x －a |=错误!可见ｆ(x )在(－∞,a )上单调递减,在(ａ，+∞）上单调递增,所以当x ＝a 时，f (x )取最小值a ，所以a 的取值范围是［6，+∞)．[10分]评分细则 (1）ｆ(x )去绝对值得分段函数给2分;三种情况下的解集错一种扣1分，没有最后结论扣1分;(２)求出ｆ(x ）的单调性给至8分．阅卷老师提醒 （1）含有绝对值式子的函数,实质上就是一个分段函数,根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即可．(2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论.五、小题冲关１．不等式|2x ＋1｜－2|x －1｜>0的解集为_＿____＿_．答案 错误!解析 原不等式等价于|２x ＋１|>2|x －１|⇔(2x ＋1)2>4（x -1)2⇔x >1４． 2．设a ,b ，ｃ，x ,y ,z 是正数,且a 2+b 2+c ２＝10，x 2＋ｙ2＋z 2=40,ax ＋ｂy +c ｚ＝20,则错误!＝__＿___＿_．答案 错误!解析 通过等式找出ａ+b ＋c 与x +y ＋z 的关系．由题意可得x ２+ｙ2＋z 2=２ａx +2by ＋2cz ，①①与a 2＋b 2+c 2＝１0相加可得(x －a )２+（y -b )2＋(ｚ－ｃ)2＝１0,所以不妨令错误!错误!,则x ＋ｙ+z ＝2(a ＋ｂ+c ),即错误!＝错误!.3. 若a ,b ,c ∈(0,+∞),且a +b +c ＝１，则ａ+错误!＋错误!的最大值为＿____＿__.答案 错误!解析 (错误!＋错误!+错误!)2=（1×错误!+1×错误!＋1×错误!)２≤（１２+1２＋1２)（ａ+ｂ＋c )＝3.当且仅当a =b =c =１3时,等号成立． ∴(错误!+错误!＋错误!)2≤３.故错误!＋错误!+错误!的最大值为错误!.4． 不等式|x ＋1||ｘ＋2｜≥１的实数解为_＿＿＿___＿__．答案 错误!.解析 ∵＼f （|x +1|,|ｘ+２|）≥1,∴|x ＋１|≥|ｘ＋２|.∴x 2＋２ｘ＋1≥x 2＋4x ＋4,∴2x +3≤０．∴x ≤－32且x ≠-2. 5. 若不等式ｘ+|x -1|≤ａ有解,则实数ａ的取值范围是＿_____．答案 [1,＋∞)解析 设f （x )=ｘ＋|ｘ－1|，则f (x )＝错误!f (x ）的最小值为1．所以当a ≥１时，f (ｘ）≤ａ有解.６. 对于任意的实数ａ(a ≠0)和b ,不等式|ａ＋b |＋|a -b |≥M ·|a ｜恒成立,记实数M 的最大值是ｍ,则m 的值为＿＿______．答案 2解析 不等式|ａ＋b ｜＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤错误!对于任意的实数ａ(ａ≠０)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|ａ＋ｂ｜＋|ａ－b ｜≥|(ａ+b )＋(a －b )｜＝2|a |，当且仅当（a -b )(a ＋ｂ)≥０时等号成立,即｜ａ｜≥|b |时,错误!≥2成立,也就是错误!的最小值是2.六、专题限时规范训练一、填空题1． 不等式|x ＋３|-|x －2|≥３的解集为___＿____．答案 {ｘ|x ≥1}解析 原不等式可化为:错误!或错误!或错误!∴x ∈∅或1≤x <２或x ≥2.∴不等式的解集为{ｘ|x ≥１｝.2. 设x >0,y >０,Ｍ=错误!,Ｎ＝错误!＋错误!,则M 、Ｎ的大小关系为_____＿____．答案 M <N解析 N =＼ｆ（x,2＋x )＋错误!＞错误!+错误!＝错误!=M .3. 对于实数ｘ，ｙ,若|x -1|≤1，|ｙ－2｜≤１，则|x －2ｙ+1|的最大值为_____＿＿＿.答案 5解析 ∵|x -1｜≤1，∴－1≤x -１≤1，∴０≤x ≤2.又∵|ｙ-2|≤1，∴-1≤y -2≤1，∴1≤ｙ≤３,从而－6≤-2y ≤-2．由同向不等式的可加性可得-6≤x－2y≤0,∴-5≤x-2y＋1≤1,∴|x-２ｙ＋１|的最大值为5.4．若关于x的不等式|a|≥｜ｘ＋１|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是_______＿．答案(－∞,－3]∪[3，＋∞)解析∵f(ｘ)＝|x＋1|+|x-2|＝错误!∴f(x)≥３.要使|a|≥|x+１｜+｜x-２|有解,需满足｜a|≥3，即ａ≤－３或ａ≥3．二、解答题5．设不等式|2x-1｜<1的解集为Ｍ.（1)求集合M；(2)若a，b∈M,试比较ab＋1与a+b的大小.解(1）由|2x－1|<1得－１＜2x－1<1,解得0<x＜1，所以M＝{x|0<x<１}.(2)由(１)和a,ｂ∈M可知0<a<1,0＜b＜1．所以（ａb+1)－(a＋b)＝（a-1)(b－1)>0,故aｂ＋1＞ａ＋b．6．若不等式错误!>｜ａ－２｜+１对于一切非零实数ｘ均成立,求实数a的取值范围．解∵错误!≥２,∴|a－２|＋1＜2,∴1<a<3.７．已知实数x,ｙ满足：|x+y|<错误!,|2ｘ-ｙ｜<错误!,求证:|y｜＜错误!.证明因为3｜y｜=|３y｜=|2(x+y)-(2x－y)|≤2｜x＋y|+|2x－y|，由题设知｜x+y|<错误!,|２ｘ－ｙ|<错误!，从而3|y｜<错误!＋错误!＝错误!,所以|y|<错误!.８. 已知函数f（ｘ)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为｛x|－1≤x≤5}，求实数a的值;（２）在(1）的条件下,若f(x)+ｆ(x+5)≥ｍ对一切实数x恒成立,求实数ｍ的取值范围．解方法一(1)由f（ｘ)≤3得|x－a|≤３,解得a-3≤x≤a＋3．又已知不等式f(ｘ)≤3的解集为｛x｜－1≤x≤5},所以错误!解得ａ=2.(2)当a=2时,ｆ(x)=|ｘ－2|，设g（ｘ)＝f(x)+f(ｘ+５),于是g（x)＝|x-2|+|x+3｜=错误!所以当x<-3时,g(x)＞５;当-3≤ｘ≤2时,g(x)＝5;当ｘ>2时,g(ｘ）>５．综上可得,g(x）的最小值为5.从而若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥ｍ对一切实数x恒成立,则m的取值范围为（－∞，5］.方法二（1)同方法一．(2)当a=2时,f(ｘ）=|x-2|.设g(ｘ）＝f(x)+ｆ（x＋5）.由|x-２｜+｜x＋3|≥|(ｘ-２）－(x+3)｜＝5(当且仅当-3≤x≤２时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f（x)+f(x＋5)≥m，即g（x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞，5].９. 已知函数f（x）=|2x+1|＋|2x-3|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a-１|的解集非空,求实数a的取值范围.解(1)原不等式等价于错误!或错误!或错误!解之得错误!<x≤2或－错误!≤x≤错误!或-1≤x<-错误!.即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.(2)∵f（ｘ)＝|2ｘ+１|＋|2x-3|≥｜(2ｘ+1)-(2x－3)|=4.∴|a－1｜>4,解此不等式得a<-3或ａ>5.10．设a，b，ｃ为正实数，求证：错误!+错误!+错误!+aｂc≥2错误!.证明因为a，b，ｃ是正实数，由算术—几何平均不等式可得错误!+错误!＋错误!≥３错误!,即错误!+错误!＋错误!≥错误!.所以错误!+错误!＋错误!+abc≥错误!＋abc．而错误!＋ａｂc≥2 错误!＝2错误!,当且仅当ａ＝ｂ=c 且abc ＝3时，取等号.所以1a 3＋1b 3＋错误!＋a ｂｃ≥2错误!.。