专题十五不等式选讲大题
（一）命题特点和预测：
分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.
（二）历年试题比较：
．
时，求不等式
时不等式成立，求的取值范围．
已知函数，
的解集；
的解集包含
已知函数
？并说明文由
(
)≤
【解析与点睛】
（2018年）【解析】（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
（2017年）【解析】
x>时，①式化为，从而.
当1
【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.
（2016年）【解析】（I）
y=的图像如图所示.
f
)
(x
（II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3
1
=
x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{}
31<<x x ；1)(-<x f 的解集为
，
所以1)(>x f 的解集为
.
【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.
以△ABC 的面积为22
(1)3
a +. 由题设得
22
(1)3
a +＞6，解得2a >.
所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分
（2014年）
【解析】（I ）由，得2ab ≥，且当a b ==
时取等号．故
33
a b +，且当a b ==
33a b +的最小值为
（II ）由（I ）知，
．由于6>，从而不存在,a b ，使得
．
(2)当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭都成立． 故2a -
≥a －2，即4
3
a ≤. 从而a 的取值范围是41,3
⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
.
（2012年）
【解析】(1)当a ＝－3时，
（2011年）【解析】(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． 学￥科网 (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组
或
即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2
x a
a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩
因为a ＞0，所以不等式组的解集为{}2
a
x x ≤-．
由题设可得12
a
-
=-，故a ＝2. （三）命题专家押题
已知函数
）当
的解集；
的解集为时，求实数的取值范围
已知函数
）当时，求不等式
的解集为空集，求的取值范围
已知函数
）若关于的不等式的解集为，求
）若，不等式恒成立，求的取值范围．已知函数
）若，求不等式
）当时，不等式恒成立，求
已知函数
时，画出函数
不等式恒成立，求
求不等式解集；
的不等式
为正实数，函数.
）求函数
）若函数的最小值
已知函数）当时，解不等式
；）若
的值域为
，证明：.
已知函数）若
，求的取值范围；）若，对
，都有不等式
的取值范
【详细解析】
1.【解析】(1)时， 当时，
，即
当时，
，即
当时，，无解 综上，的解集为
(2)
当，即时, 时等号成立； 当
，即
时,
时等号成立 所以)(x f 的最小值为
即
或
2.【解析】（1）当a=2时，不等式，即|x+1|-|x-2|＞2，
当时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解；
当
时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得
，所以
；
当x ＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，即3＞2，此时原不等式恒成立， 所以x ＞2；
综上，原不等式的解集为.
（2）由
的解集为空集得
的解集为空集，
所以|x+1|-|x-a|＜2a 恒成立.
因为，所以，
所以当且仅当即时，，
所以a+1＜2a，
解得a＞1，
即的取值范围为.
3.【解析】（1），即，两边平方并整理得，由已知是关于的方程的两根，
由韦达定理得，又因为，
解得．
（2）因为，
所以不等式恒成立，只需，
当时，，解得或；
当时，，解得．
综上可知实数的取值范围是
4.【解析】（1）由题意，不等式，可得，
可转化为不等式组，解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）因为，所以，
所以不等式恒成立，即在上恒成立，
所以，即，
又因为在是增函数，
所以，所以.
5.【解析】（1）当时，，画出图像如下图所示：
（2）因为，
所以不等式成立，
等价于成立，
该不等式转化为或或，
解得.
6.【解析】（1），即，则，当时，解得，
当时，解得，
所以原不等式的解集为：
（2）由不等式在实数范围内有解可得，
在实数范围内有解，
令，则，
因为，
所以，即.
7.【解析】（1）因为，
所以函数的最大值为.
（2）由（1）可知，，
因为，
所以，
所以，
即， 且当时取“
”，
所以
的最小值为.
8.【解析】（1）当m=1时，|x-1|-|2x +2|≥1 等价于或
或
，
解得-2≤x ≤-，
所以原不等式的解集为[-2，-]．
（2）f （x ）+|t-1|＜|t+1|⇔f （x ）＜|t+1|-|t-1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解． ∵f （x ）=
，
根据分段函数的单调性可知：x=-m 时，f （x ）取得最大值f （-m ）=2m ， ∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，
∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2． 所以问题转化为2m ＜2，解得0＜m ＜1． 9.【解析】（1）当，
时，
，
①当时，不等式可化为
，即，无解， ②当时，不等式可化为，即，得，
③当
时，不等式可化为
，即，得
，
综上，不等式的解集为.
（2）证明：，
∵的值域为
，，
，∴
，
故，
∴
，
.
∴
.
10.【解析】（1）由题意知，
，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（2）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.。