a 的取值范围
是
.
解析 不等式 | a | | x 1| | x 2 |有解，则 | a | (| x 1| | x 2 |)min 3 ，故实数 a 的
取值范围是 ( , 3] [3, ) .
变式 1 (2012 陕西理 15) 若存在实数 x 使 | x a | | x 1| 3 成立，则实数 a 的取值范围
x| 2 x 1 .
(1) 求 a 的值； (2) 若 | f (x) 2 f ( x ) | k 恒成立，求 k 的取值范围 .
2
解析 （ 1）由 | ax 1| 3 得 4 ax 2 ，又 f (x) 3 的解集为 x | 2 x 1 ，所以当
a 0时，不合题意 . 当 a 0 时， 4 x 2 得 a 2 .
a b ）；
a
0, b
0, c
abc 0,
3 abc （当且仅当 a
b
c 时等号成立）
3
（ 3）柯西不等式
(a2 b2)(c2 d 2 ) (ac bd )2 （当且仅当 ad bc 时取等号）
①几何意义： | a b |≤| a || b | | ad bc | a2 b2 c2 d 2
②推广： (a12 a22
（ 1）当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3 的解集；
（ 2）若 f (x) | x 4 | 的解集包含 [1,2] ，求 a 的取值范围 .
变式 2 (2013 重庆理 16) 若关于实数 x 的不等式 | x 5| | x 3| a 无解，则实数 a 的取
值范围是
.
变式 3 (2013 全国新课标 I 理 24) 已知函数 f ( x) | 2x 1| | 2 x a |, g( x) x 3 .
(1) 当 a (2) 设 a
2 时，求不等式 f (x) g( x) 的解集；
1，且当 x[源自a1 , ) 时， f ( x)
g( x) ，求 a 的取值范围 .
22
三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题 例 16. 16 若关于 x 的不等式 | a | | x 1| |x 2 存| 在实数解，则实数
题型归纳即思路提示
题型 201 含绝对值的不等式
一、解含绝对值的不等式
思路提示
对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值
. 常用的去绝
对值方法是零点分段法 . 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题 . 若单个绝对值的不等式
常用以下结论：
| f (x) | g (x) g( x) f ( x) g( x) ；
an2 )( b12 b22
bn2) ( a1 b1 a2 b2
an bn )2 . 当且仅
当向量 a = ( a1 , a2 , , an ) 与向量 b = (b1 , b2 , , bn ) 共线时等号成立 .
四、不等式的证明
（ 1）作差比较法、作商比较法 . （2）综合法——由因到果 . （3）分析法——执果索因 . （4）数学归纳法 . （5）构造辅助函数利用单调性证明不等式 . （6）反证法 . （7）放缩法 .
| f (x) | g (x) f ( x) g ( x)或f ( x) g( x) ；
| f (x) | | g( x) | f 2( x) g 2( x) ( f ( x) g( x))( f ( x) g(x)) 0 .
有时去绝对值也可根据 | x |2 x2 来去绝对值 .
例 16. 14 在实数范围内，不等式 || x 2| 1| 1的解集为
第三节 不等式选讲 ( 选修 4-5)
考纲解读
1. 了解绝对值的几何意义， 会利用绝对值的定义解不等式， 利用绝对值不等式证明不等式
和求最值 .
2. 了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位
.
3. 了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值
.
4. 会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式
（合成后为必要条件） 2. 同解变形
（ 1） a b a c b c ；
（ 2） a b c 0, ac bc c 0, ac bc ；
（ 3） a b 0
11 0
ba
（变形后为充要条件）
3. 作差比较法
a b 0.
a b a b 0, a b a b 0
二、含绝对值的不等式 （ 1） a 0,| x | a
.
命题趋势探究
本节内容为新课标新增内容， 是高考选考内容 . 题型以含绝对值的不等式的解法和证明
为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档
.
知识点精讲
一、不等式的性质
1. 同向合成
（ 1） a b, b c a c ；
（ 2） a b,c d a c b d ；
（ 3） a b 0,c d 0 ac bd .
a
a
1,x 1
(2) 记 h( x) f ( x) 2 f ( x) ，则 h( x) 2
1
4x 3, 1 x
，
2
1,x 1 2
所以 | h( x) | 1 ，因此 k 1 ，即 k 的取值范围是 [1, ) .
变式 1 （ 2012 新课标理 24）已知函数 f (x) | x a | | x 2 | .
( , 4] [6, )
变式 2 已知函数 f ( x) | x 2 | | x 5| .
（ 1）证明： 3 f (x) 3；
（ 2）求不等式 f ( x) x2 8x 15 的解集 . 二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题 例 16. 15 （ 2012 辽宁理 24）已知 f ( x) | ax 1| (a R ) ,不等式 f ( x) 3的解集为
.
解析
由 于 | |x 2 | 1 | ，1即 1 |x 2 | 1 ，1 即 | x 2 | 2， 所 以
2 x 2 2，所以 0 x 4. 所以不等式的解集为 [0, 4] . 变式 1 不等式 | x 5 | | x 3| 10 的解集是（ ）
A. [ 5,7] B. [ 4,6] C. ( , 5] [7, ) D.
a x a ； a 0,| x | a
（ 2） | a | | b | a2 b2
x a,或x a
（ 3） | x a | | x b | c 零点分段讨论
三、基本不等式 （ 1） a2 b2 2ab （当且仅当等号成立条件为 a b ） （ 2） a 0, b 0, a b 2 ab （当且仅当等号成立条件为 2