数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为 i i x ay c-= 所以 i i x a cy =+所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n y i i s y y n ==-∑ 所以222x ys c s = 成立4. 解：变换 2000i i y x =-1 2 3 4 5 6 7 8 91939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310-61-303 103042420909-18520310利用3题的结果可知5. 解：变换 ()10080i i y x =-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1379.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02-2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 02利用3题的结果可知 6. 解：变换()1027i i y x =-23.5 26.1 28.2 30.4 -35 -9 12 3423412710yx =+=26.85 7解： 身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182组中值 156 160 164 168 172 176 180学生数10 14 26 28 12 8 28解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2， 2.01，2.22，3.2，3.219解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

解： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率 0.10.150.450.20.111.解：区间划分频数频率密度估计值154158 10 0.1 0.025 158162 14 0.14 0.035 162166 26 0.26 0.065 166170 28 0.28 0.07 170174 12 0.12 0.03 174178 8 0.08 0.02 178182 20.020.005 12. 解： 13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布 所以 ()2Y n χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++所以()1230,13X X X N ++同理 ()2245613X X X χ++⎛⎫⎪⎝⎭由于2χ分布的可加性，故 可知 13C = 16. 解：（1）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()22311n i i X Y n n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故 ()23210200y n Y e y f y ny y σσπ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni i ni i X N n X Y n σχσσ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑故 ()24210200y Y e y f y y y σπσ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 17.解：因为 ()X t n 存在相互独立的U ，V 使 UX V n=则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ 18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以 ()1112211nni ii i n m n mi i i n i n X m X n Y t m X nX mσσ==++=+=+==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑∑（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ= 由2χ分布的性质3可知 故 {}2c n P X c n -⎛⎫≤≈Φ⎪⎝⎭第 二 章1. 从而有 1x λ∧=2.令1p ＝X所以有1p X∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏解之得11nii np XX∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望 而样本均值为：5.。

解：其似然函数为： （2）由于所以11n ii x n σ∧==∑ 为σ的无偏估计量。

6. 解：其似然函数为： 解得７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数22ββμ=-=，方差1212)0(222ββλ=-= 用极大似然估计法求β得极大似然估计量 似然函数：∏==ni nL 11)(θβ β≤≤≤≤≤ni i i i x x 1)(max min 0选取β使L 达到最大取ni i x ≤≤∧=1max β由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时2.2=∧β即,1.12==∧∧βμ 4033.0122.22.21222≈⨯==∧βσ 8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i n x x x x则似然函数为： ∏=--=ni x ie L 1)()(θθ θ≥i x要使似然函数最大，则需θ取),,,min(21n x x x即∧θ=),,min(21n x x x9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i n x x x x 则其似然函数∑===-=-∏ni iix n n i x ee L 11)(λλλλλ由题中数据可知 则 05.0201==∧λ10. 解：（1）由题中子样值及题意知：极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得4299.015=d 故0205.27.44299.0=⨯=∧λ（2）平均极差115.0=R ，查表知3249.0110=d 0455.0115.03249.0=⨯=∧λ 11/解：设∧u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧μ 又因4)26261034018(601=⨯+⨯+⨯+⨯=x 即知4=∧μ12. 解：)1,(~μN Xμ=∴)(i x E ，1)(=i x D ， )2,1(=i 则μμ=+=∧2113231)(EX EX E 所以三个估计量321,,∧∧∧μμμ均为μ的无偏估计同理可得85)(2=∧μD ，21)(2=∧μD可知3∧μ的方差最小也亦∧2μ最有效。

13解：)(~λP X λλ==∴)(,)(X D X E 即2*S 是λ的无偏估计又因为λ====∑∑∑===ni i n i i n i i EX n X E n X n E X E 1111)(1)1()(即X 也是λ的无偏估计。

又]1,0[∈∀α λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2*2*S E X E S X a E 因此2*)1(S X αα-+也是λ的无偏估计 14.解：由题意：),(~2σμN X因为])(()([)()(21111212i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧∑∑λ要使22)(λλ=∧E 只需)1(21+=n C 所以当)1(21-=n C 时2∧λ为2λ的无偏估计。

15.证明： 参数θ的无偏估计量为∧θ，∧θD 依赖于子样容量n则,0>∀ε由切比雪夫不等式0lim =∧∞→θD n 故有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∧∞→εθθp n 即证∧θ为θ的相合估计量。

16证明：设X 服从),(p N B ，则分布律为 kk k NP P k X P C )1()(-== ),2,1(N k = 这时NP X E =)( )1()(P NP X D -= 2222)1()(P N P NP EX DX EX +-=+= 例4中N X p -∧=所以P NNPN X E P E ===-∧)(（无偏） 罗—克拉美下界满足所以∧=-=P D nNP P I R )1(即∧p 为优效估计17． 解：设总体X 的密度函数似然函数为∏=----∑===ni x n x ni i i eeL 12)(222)(221222)2(21)(σμσμπσσπσ因为⎰+∞∞-∂∂dx x f x Lnf )())((22σ=⎰∞+∞-----dx ex x 222)(224221]212)([σμσπσσμ=]2)()([4142248σσμμσ+---X E X E =42σn故2σ的罗—克拉美下界又因∑=∧-=n i i X n E E 122))(1(μσ∑=-=ni i X E n 12))((1μ2σ=且∑=-=n i i X n D D 122))(1()(μσ42σn=所以2∧σ是2∧σ的无偏估计量且)(2∧=σD I R 故2∧σ是2∧σ的优效估计 18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，所以nS X U μ-=近似服从)1,0(N 得置信区间为ns u x 2(α- )2ns u x α+已知95.01=-α s=40 x =1000 查表知96.12=αu 代入计算得所求置信区间为（992.16 1007.84） 19.解：（1）已知cm 01.0=σ 则由)1,0(~N nX U σμ-=解之得置信区间nu X σα2(- )2nu X σα+将n=16 X =2.125 645.105.02==u u α 01.0=σ代入计算得置信区间（2.1209 2.1291） （2）σ未知 )1(~--=n t nS X T μ解得置信区间为2(αt ns X -)2αt ns X +将n=16 753.1)15()15(05.02==t t α 00029.02=S 代入计算得置信区间为（2.1175 2.1325）。