阶段性测试题六(不等式)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(理)(2011·山东莱芜阶段测试)已知a >0，b >0，且2a ＋3b ＝1，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27[答案] B[解析] ∵a >0，b >0,2a ＋3b ＝1， ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b ) ＝13＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6ab ＝25 等号在a ＝b ＝15时成立，∴2a ＋3b的最小值为25. 2．(理)(2011·辽宁铁岭六校联考)设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a2≤x ≤2a ；②a2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形．3．(理)若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤QD ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .4．(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集是( ) A ．(1,2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2)[答案] C[解析] 当x <2时，由2e x －1>2得，x >1，∴1<x <2；当x ≥2时，由log 3(x 2－1)>2，得x >10或x <－10，∴x >10.∴不等式f (x )>2的解集是(1,2)∪(10，＋∞)．故选C.5． (理)(2011·天津河西区质检)已知点A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，设z 为OA →在OP →上的投影，则z 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－3，3]C ．[－3，3]D ．[－3，3][答案] B[解析] OA →在OP →上的投影为z ＝|OA →|cos 〈OA →，OP →〉，∵|OA →|＝23为定值，∴z 的取值范围取决于〈OA →，OP →〉的大小，由图知，〈OA →，OP →〉∈[π3，5π6]，∴z ∈[－3，3]，故选B.6．(理)(2011·四川成都期末)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c ab ，则有( )A ．P <M <NB ．M <P <NC ．N <P <MD ．P <N <M[答案] A[解析] 因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1,0<b <1，a ＋b >2ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以logc a <log c ab <log c b ，即P <M <N ，选A.7．(理)(2011·宝鸡市法门高中月考)若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)满足f (2a )>f (3a )，则f (1－1x)>1的解集是( ) A ．{x |0<x <1a }B ．{x |0<x <11－a }C ．{x |1<x <1a }D ．{x |1<x <11－a}[答案] D[解析] 若a >1，则2a <3a ，而函数f (x )＝log a x 递增，所以应有f (2a )<f (3a )，与条件不符，所以必有0<a <1，这时函数f (x )＝log a x 递减，由f (1－1x )>1可得0<1－1x <a ，解得1<x <11－a ，故选D.8．(2011·西安远东一中月考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 [答案] B[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2表示的平面区域如图，由图可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．9．(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y ≥0y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值是3，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 [答案] A[解析] 画出可行域如图，∵z ＝x ＋2y 的最大值为3，∴y ＝－x 2＋z2经过可行域内的点A (a ，a )时，z 取到最大值3，∴a ＋2a ＝3，∴a ＝1.10．(2010·汕头模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12[答案] C[解析] 由运算“*”的定义知，(x －a )*(x ＋a )<1可化为(x －a )(1－x －a )<1， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立， ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32.11．(2011·蚌埠二中质检)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．9 [答案] B[解析] 由条件知，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝32|AB →|·|AC →|＝23，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∴x ＋y ＋12＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)，∴1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x 时成立，∵x ＋y ＝12，∴x ＝16，y ＝13时，1x ＋4y取最小值18.12．(理)(2011·江西新余一中月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 由函数f (x )为奇函数可知f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x<0，而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0.∴不等式化为⎩⎨⎧ x >0f (x )<0或⎩⎨⎧x <0f (x )>0，即⎩⎨⎧ x >0f (x )<f (1)或⎩⎪⎨⎪⎧x <0f (x )>f (－1).又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则奇函数f (x )在(－∞，0)上也为增函数，所以0<x <1或－1<x <0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2010·北京东城区调研)已知实数x 和y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当z ＝x ＋y 经过可行域内点A (2,3)时，z 取最大值5.14．(理)(2011·江西弋阳一中月考)在两个实数间定义一种运算“#”，规定a #b ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <b ，－1，a ≥b ，则方程⎪⎪⎪⎪1x －2#2＝1的解集是______． [答案] ⎝⎛⎭⎫14，＋∞[解析] 由题知⎪⎪⎪⎪1x －2<2，∴－2<1x －2<2， ∴x >14.15．(2011·天津五中模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．[答案] 73[解析] 由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如右图所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D 即可，此时D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入可得k ＝73. 16．(2011·豫南九校联考)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为________．[答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25等号在22x ＝31－2x ，即x＝15时成立． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(理)(2011·山东淄博一中期末)已知P ：关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间(0,2)上有两个相异的零点；Q ：函数g (x )＝13x 3＋mx ＋m 在(－∞，＋∞)上有极值．若P 和Q 有且只有一个正确，求m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，若P 正确，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－4×1>00<－m －12<2f (0)＝1>0f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，解得－32<m <－1g ′(x )＝x 2＋m ，(1)若m ≥0，则g ′(x )≥0恒成立，即g (x )在(－∞，＋∞)为增函数，无极值； (2)若m <0，则令g ′(x )＝x 2＋m ≥0得x ≤－－m 或x ≥－m ，令g ′(x )＝x 2－m ≤0，得－－m ≤x ≤－m即函数g (x )在(－∞，－－m ]及[－m ，＋∞)上为增函数，在[－－m ，－m ]上为减函数，故x ＝－－m 及x ＝－m 是g (x )的极值点． 由(1)、(2)知，当m <0时，函数g (x )有极值点．∵P 和Q 有且只有一个正确，则m 的范围是(－∞，－32]∪[－1,0)．18．(理)(2011·黄冈市期末)已知函数f (x )＝2－xx ＋1.(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；(2)是否存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，若存在求出x 0；若不存在，请说明理由． [解析] (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， ∵f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－3x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0， ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． (2)不存在假设存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，则∵x 0<0， ∴0<3x 0<1，即0<f (x 0)<1，∴0<2－x 0x 0＋1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 0<2－2x 0＋1x 0＋1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 0<2x 0<－1或x 0>12⇒12<x 0<2与x 0<0矛盾， 所以不存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立． [点评] (2)可另解如下：f (x )＝－1＋3x ＋1，由x 0<0得：f (x 0)<－1或f (x 0)>2但0<3x 0<1，所以不存在．19．(本小题满分12分)(2011·浙江杭州二中期中)设抛物线C 1 y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2 y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．(1)求a 、b 之间关系．(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值． [解析] (1)设交点为(x 0，y 0) 由y ＝x 2－2x ＋2得y ′＝2x －2∴曲线C 1在(x 0，y 0)处的切线斜率为k 1＝2x 0－2 由y ＝－x 2＋ax ＋b 得y ′＝－2x ＋a∴曲线C 2在(x 0，y 0)处的切线斜率为k 2＝－2x 0＋a 由k 1·k 2＝－1得(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1 ∴4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，∴2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②得2a ＋2b －5＝0 (2)∵2a ＋2b －5＝0 ∴a ＋b ＝52∵a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝2516当且仅当a ＝b ＝54时取“＝”号．20．(理)(2011·厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m 2、墙高为3m ，一面靠旧墙的矩形房屋．利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x (单位：m)不得超过a (单位：m)(其平面示意图如下)．已知旧墙的维修费用为150元/m 2，新墙的造价为450元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)．(1)把房屋总造价y (单位：元)表示成x (单位：m)的函数，并写出该函数的定义域； (2)当x 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ [解析] (1)依题意得：y ＝3x (150＋450)＋24x ×2×3×450＋5400＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400(0<x ≤a ) (2)y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400≥1800×2x ·36x＋5400＝21600＋5400＝27000 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时取等号当a >6时，在x ＝6时总进价最低，最低总造价是27000元． 当a ≤6时，则y ′＝1800⎝⎛⎭⎫1－36x 2 ∴当0<x ≤a 时，y ′<0，故函数y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400在(0，a ]上是减函数， ∴当x ＝a 时，y 有最小值，即最低总造价为 1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元 答：当a >6时，x ＝6总造价最低，最低总造价是27000元； 当a ≤6时，x ＝a 总造价最低，最低总造价为 1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元． 21． (理)(2011·北京市朝阳区期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有两个相等的实数根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0，－f (x ) x <0，当mn <0，m ＋n >0，a >0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?[解析] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0.∵方程f (x )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0. ∴b 2－4(b －1)＝0.∴b ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－(k －2)24.所以当k －22≥2或k －22≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数． (3)f (x )为偶函数，所以b ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1 x >0，－ax 2－1 x <0. 因为mn <0，不妨设m >0，则n <0. 又因为m ＋n >0，所以m >－n >0. 所以|m |>|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0. 所以F (m )＋F (n )>0.22．(理)(2011·河南焦作一中月考)要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A 、B 两种规格，每张钢板可同时截得A 、B 两种规格的小钢板的块数如下表所示：A 、B 两种规格的成品数分别为15块和27块．(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少？ (2)有5个同学对线性规划知识了解不多，但是画出了可行域，他们每个人都在可行域的整点中随意取出一解，求恰好有2个人取到最优解的概率．[解析] 设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x 、y 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤15，x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，作出可行域如图(1)因为目标函数为z ＝x ＋y (x 、y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．(2)因为可行域内的整点个数为8个，而最优解有两个，所以每个人取得最优解的概率为14.所以5个人中有2个人取到最优解的概率为C 35⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫343＝135512. 答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8.5个人中恰好有2个人取到最优解的概率为135512.。