略！
二、幂级数展开法（长除法）
！ 一般为变量z的有理分式，可用长除法，
将变换式展开为幂级数的形式。
略！ 例
解 进行长除
用长除法可得z -1的幂级 数。但得不到解析式
根据Z变换定义有 所以
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) ← Z → x(n)
（|z|>R）
8.4 逆z变换
定义： 由已知F(z)求f(n)的运算，称为逆Z变换。
记为 求逆变换方法
1、留数法 2、长除法 3、部分分式展开法（重点）
略！
一、围线积分法(留数法)
据单边Z反变换的积分公式，有
式中，C是包围
所有极点的逆时针闭合积
分路线，常选择z平面收敛域以原点为中心的圆。
因围线C包围了所有孤立奇点(极点)，故此积分式可运 用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
！
s平面上的单极点映射到z平面上，并不一定是单 极点。这是因为在s平面上，具有同样实部而虚部
相差 的两个极点映射到z平面上的极点都是
相同的。反之，z平面到s平面的映射是多值的。
8.7 利用z变换解差分方程
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
X(n)为因果序列
有
输入信号 输入信号
初始条件 （已知）
6.5.1 零输入响 应
二、 典型序列的z变换
1. 单位样值序列δ(n)
2. 单位阶跃序列u(n)
收敛域 为Z平面
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法
已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得 …
4. 指数序列 求导
收敛域为
z > a
5. 单边正、余弦序列 由
故
根据欧拉公式 -
零输入响应（x(n)=0），即仅由系统初始储能引起的 响应。有
零输入响应
反z变换
例
x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)
解 激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取Z变换
，
代入初始条件，得：
，
进行Z反变换，得：
6.5.2 零状态响 应
零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励x(n)是因 果序列时，且初始条件为零（y(l)=0），有
三、序列线性加权（z域微分） 若
四、序列指数加权（z域尺度变换） 若
五、初值定理 若
且x(n)为因果序列，则
六、终值定理 若
且x(n)为因果序列，则
七、时域卷积定理 若
8.6 z变换与拉氏变换的关系
由连续函数拉氏变换，求离散函数Z变换，可将s代换为 ，有
可应用留数定理来计算：
Z变换和拉氏变换间的关系，还可由两者在z平 面和s平面上的极点间的映射关系表示：
义
单边定义为： 重点
双边定义为：
其中： z — 复变量
∵ z = e sT ， s = + jΩ（拉氏变换→z变换）
∴ z = e ( + jΩ)T = e T + jΩT = e T e jΩT 令 |z| = e T ， ΩT = ω，则有z = |z| e jω 其中：Ω模拟角频率, ω数字频率, T抽样间隔
（因果序列）
为了保证z = ∞处收敛，要求k ≥ r
1、X(z)只含一阶极点 将X(z) / z展为
即
式中 反变换为
例题 解
∴ ∴
求x(n) = ? 极点：z1 = -1， z2 = -2
2、X(z)含有重阶极点 设X(z)有M个一阶极点，在z = zi处有一个s阶极点
即
其中 反变换为
分子，当j≥2，从最后一项(n-j+2)一直递增乘到n
若 x(n)u(n) ←→ X(z)
x(n - m)u(n) ←→ z –m [ X(z) + 则
x(n + m)u(n) ←→ z m [ X(z) -
② x(n m)u(n) ←→ z –m [ X(z) ] 则
x(n + m)u(n) ←→ z m [ X(z) -
理想抽样：
单边x(t) = x(t)u(t)
抽样间隔
对上式取双边拉氏变换，得到
交换运算次序， 并利用冲激函数的 抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为
令e sT = z 或 则有
相函数
—— z为复数变量（∵s = + jΩ）
T=1(归一化)
原函数
单边z变换
8.2 z变换定义、典型序列的z变换
一、 Z变换的定
2. 双边Z变换
Z变换的收敛域为
分若
，则收敛域为Z平面内圆心在原点、
析 外半径为 、内半径为 的一个圆环区域；否
则无收敛域，Z变换不存在。
同一个双边Z变换的表达式，其收敛域不同，也可能
！ 对应于两个不同的序列。双边Z变换式必须注明其收
敛域，否则可能无法确定其对应的时间序列。
自习：P49,(8-17)和(8-18)两式
自习P62，例8-6 相加后零极点抵消，收敛域扩大，由|z|>a→全平面收敛
二、移位性（重要！重点右移位） 1、双边z变换 若 x(n) ←→ X(z) x(n - m) ←→ z -mX(z) 则 x(n + m) ←→ z mX(z)
2、单边z变换
自习P64，例8-8
① x(n)为双边序列，其单边z变换为
第8章 z变换离散时间系 统的z变换分析
2020年4月22日星期三
8.1 引言
一、 离散时间信号与系统的变换域分析
z变换 X(z)
z = e jω 有条件
序列的傅里叶变换X(e jω)
利用z变换求解离散系统的响应 利用离散系统函数H(z)分析系统 分析序列的频率特性 分析离散系统的频率响应特性
二、 抽样信号xs(t)的拉氏变换→z变换
例 s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴ 见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性
若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
则 ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z) max(Rx1,Ry1) < |z| < min(Rx2,Ry2)
8.3 z变换的收敛域（ROC ）
1. 单边z变换 其幂级数收敛的条件可表示为：
（绝对可和条件）
例
解 根据Z变换定义，有
z变换存在的充要条件
只有当
，即
（圆外区域）
该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件：
收敛条件
根据等比级数的求和公式，有
！ 单边z变换的收敛域总是z平面内以原点为圆心
的一个圆的圆外区域。一般不注其收敛域。