Z[x(n)]
z z 1
z2
z 1
z2
z 1
z2
,
z
1
33
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [a nx (n ) ]X (z); a
aR x za R x
证明： Z[a n x(n)] a n x(n) z n
n
x(n)( z )n X ( z ) ;
25
（2）部分分式法
X(z)a0 b 0 a 1 b z 1z b a r k1 z 1z r k 1 1 br a zkrzk
只有一 阶极点
k r
A0
b0 a0
X(z)A0
k
Amz
m1zpm
kr A00
X(z) mk11Apm mz1
X (z)
Am 是 z 在 Pm 处的留数
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
z3 2z2 1 Resz(z1)(z0.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
(0z)
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2
2j C 22
x(n) 1 X(z)zn1dz
2j C
用留数求 围线积分
Res[X(z)zn1]zzm
一阶极点：
n
R s [ X ( z e ) z n 1 ] z z m [z ( z m ) X ( z ) z n 1 ] z z m
S 阶极点：
(s 11) !d dss z 11[X(z)zn1(zzm)s] zzm3j Im[z]
1 z 3 3
Re[ z ]
13
§8.3 典型序列的Z变换
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
14
(1 ) Z[T (n) ] (n)z n1(z0)
n 0
(2) ZT [ (n m)] (n m) z n
n0
(r ) z (r m) z m
X (z)n 0x(n)z nx(0)x(z1 )xz (2 2)
收敛域：当x(n)为有界时，令上述级数收敛的 z的
所有可取的值的集合称为收敛域
1）比值判别法 lim an1
n an
2) 根值判别法
limn
n
an
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
第八章、Z变换和离散时间系统 的Z域分析
本章要点 • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器
1
§8.1 Z变换的定义—由拉氏变
换引出Z变换
• 有抽样信号 xs(t) x(nT)(tnT)
• 单边拉氏变换
n0
X s (s)
dz
dz n
n
dz
nx (n ) z n 1 z 1
nx(n)z n
n
n
即， Z [nx (n)] z dX ( z ) dz
35
5. 共轭序列
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x ，则
Z[x*(n)]X*(z*)，Rx z Rx ; 其中， x*(n)为x(n)的共轭序列。
（1）双边序列：只在 n区间内，
有非零的有限值的序x列(n)
X(z) x(n)zn n
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1 Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z ]
9
例： (1) x(n)1nu(n) 3
X(z) x(n)zn nn1
n1n
圆外为
收敛域
lim n x ( n ) z n 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
R x1
z
R x1
z R x1
Re[ z ]
收敛半径
7
（1）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X(z) x(n)zn n
nn2
n
a
a
Rx
z a
Rx;即
a Rx
z
a Rx
34
4. 序列的线性加权(Z域求导数)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [n(n x ) ] zd dX z(z),R xzR x
证明：X ( z )
x(n) z n , 对其两端求导得
n
dX ( z ) d [ x (n) z n ] x (n) d ( z n )
z8
(
1 3
)
8
e
j2 k
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
z0
7阶极点
z
1 3
一阶极点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
zm 1 X (z )d z zm 1 x (n )z n d z x (n )z n m 1 d
C
C n 0
n 0 C
21
• 由复变函数中的柯西定理
Czk1dz20j
k0 k0
• 只有右边的 nm 1 1即nm一项，
• 于是
X (z)zn1dz 2jx(n)
C
• 逆变换 x(n) 1 X (z)z n1dz
右边序列
X(z)1z1n
n03
1 11z1
zz1
3
3
j Im[z]
1 R x1 3
R x1
1 3
z 1 3
1
Re[ z ]
3
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
30
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)]X(z),RxzRx 则有： Z[y(n)]Y(z),Ry z Ry
Z[a(x n)b(y n) ]a(X z)b(Y z), maRxx ,R (y)zmiRn x,R (y)
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
31
[例]已知 x(n)co0 sn)(u(n),求其z变换。
m n
nm
X(z) x(m )zm x(n)zn
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
m n2
nn2
j Im[z]
lim n x ( n ) z n 1
R x2
n
lim n x ( n ) z 1
n
Re[ z ]
1 z lim n x ( n ) R x 2
收敛半径
n
8
证明：Z[x*(n)] x*(n)zn [x(n)(z*)n]*
n
n
[ x(n)(z*)n]*X*(z*)，Rxz Rx; n
X(z) k Am
z m1 z pm
26
A mRs e X z (z) zpm X z (z)(zpm ) zpm
k
( z R) x(n) Ampm nu(n)A0(n) m1 k
( z R) x(n) A mpm nu(n1)A 0(n) m 1
27
含有M个一阶 S个高阶极点
解：
cos(0n)u(n)
1 [e j0n e j0n ]u(n) 2
Z[anu(n)]
1 1 az1
,
z
a
Z[e
j u0n (n)]
1
1 e j0
z
1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
因此，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
X(z)A0m M 1zA mpzmjS1zBjzj
Bj (s 1j)!d dss zjj
(zj)s
X(z)
z
zj
部分分式为
另一种形式
X(z)A0m M 1zA m p zmjS 1(zC jzjj)j