第十二讲 导数及其应用和数系的扩充与复数
导数及其应用（1）
一、考试要求
内容
等级要求
A B C 导数及其应用
导数的概念
√ 导数的几何意义 √ 导数的运算
√
二、考点回顾 1、 函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）
2、
定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '．
注：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）导数)(0x f '的几何意义就是曲线)
(y x f =在点）（)(,00x f x 处的切线的斜率．
3、
若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，
记作)(x f '．
①)()(t s t v '=表示瞬时速度；)()(t v t a '=表示瞬时加速度；②在经济学中，生产x 件产品的成本称为成本函数，记为）（x C ；出售x 件产品的收益称为收益函数，记为）（x R ；）（x R —）（x C 称为利润函数，记为）（x P ；相应地)
(,,x P x R x C ）（）（''分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．）（x C 在a x =处的与导数)(a C '称为生产规模为a 时的边际成本值；③)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值 4、
基本初等函数求导公式
幂函数：
='）（α
x （α为常数） 指数函数：=')(x
a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x
e
对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）
（x ln
正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x
导数及其应用（2）
一、考试要求
内容
等级要求
A
B C
导数及其 应用 导数的运算
√ 利用导数研究函数的单调性和极值
√ 导数在实际问题中的应用
√
二、考点回顾
（1）导数与函数的单调性：若()0f x '>，则()f x 为增函数；若()0f x '<，则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立，则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定，则()f x 不是单调函数．
（2）利用导数求函数单调区间的步骤：①求()f x '；②求方程()0f x '=的根，设为12,,n x x x ；③12,,n x x x 将给定区间
分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性．
（3）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程
()0f x '=的根0x 的左右的符号：”左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；”左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值．
特别提醒：①0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件．②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验”左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
（4）求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数()y f x =在（,a b ）内的极值；②将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
特别注意：①利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．
（5）导数的三大应用：
①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率； ②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为0；
③单调性的判断： ()0f x '>，)(x f 单调递增；()0f x '<，)(x f 单调递减，和一些常见的导数的求法．
数系的扩充与复数
一. 复数的定义
1. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做
复数集，用字母C表示。
说明
（1）虚数单位：（1）它的平方等于－1，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
（2）与－1的关系：就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－。
（3）的周期性：4n＋1＝i，4n＋2＝－1，4n＋3＝－i，4n＝1。
（4）复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。
（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b ∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b ＝0时，z就是实数0。
（6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C。
（7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d。
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小。
只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。
二. 复数的四则运算
1. 复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。
复数的加法运算满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1。
复数的加法运算满足结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。
2. 复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。
3. 乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
乘法运算律：
（1）z
1（z
2
z
3
）＝（z
1
z
2
）z
3
（2）z
1（z
2
＋z
3
）＝z
1
z
2
＋z
1
z
3
（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
4. 复数除法定义：满足（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）的复数x＋yi（x，y∈R）叫复数a＋bi除以复数c＋
di的商，记为：（a＋bi）（c＋di）或者
三. 复数的几何意义
复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义。
也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。