第四章 因式分解
1.因式分解
一、基本知识点
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。
（1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。
2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。
（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用
1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）
22221
(a+3)(3)9;1(1)
();2x 3)(32)
A a a
B x x x
C a b a b
D y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。
(2)求m 的值。
3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，
根据图形，写出一个因式分解的等式。
4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，
则原数与新数之差能被99整除。
5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）
6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。
7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。
8、试说明817－279－９１３
能被４５整除。
２．提起公因式法
一、基本知识点
１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。
２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。
３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。
二、知识拓展与应用 １、把下列各式分解因式
（１）8x 3y 2－12xy 3z; (2) 9x n+1－27x n (3) 6(a －ｂ）３
－9b(a －b)2
(4) －4m 3+16m 2－26m （5）6a(b －a)2－3(a －b)3
2、利用因式分解简化计算
4111
(1)67923937191919⨯
⨯⨯⨯⨯、－－；（）、－133
20142014
20142015
2342014992015122⨯+-+-（）、；（）、（）
3、探讨32014－4×32013+8×32012 能被10以内的哪几个整数整除？
4、分解因式：1+x+x （x+1)+x(x+1)2+……x （x+1)2014
m n n
4.1.1图
3、公式法
一、基本知识点
1、平方差公式：a 2－b 2=(a －b)(a+b)
2、完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 二、知识巩固与拓展 1、分解因式
（1）－x 2+2x －1 (2) a 4－ｂ6 (3) 16x 2－25y 4 (4) 81m 4－１
（５）（ｘ２＋６ｘ）２
+18(x 2+6x)+81 (6) (x 2+y 2)2－４x 2y 2
（7）－3x 7+24x 5－48x 5 322
1
8x 2x y 2xy
2+（）、－
2、已知多项式4x 2+（m －1)xy+9y 2 是完全平方式，求m
22221111
3111234100⨯⨯⨯⨯ 、计算：（－）（1－）（－）（－）
4、用简单方法计算：20142
+196－28×2014
5、把4x 2+1加上一个单项式后，能成为完全平方式，加上的单项式可以是： 。
6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2
2
－０２
； 12=42－22 ；20=62－42；因此4,12,20,都是“神秘数”。
（1）28和2012这两个数是（神秘数“吗？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正整数）是神秘数吗？为什么？
章末总结
一、基本知识结构
22222
12()()()32()4am bm cm m a b c a b a b a b a ab b a b ⎧⎪
++=++⎪
⎪⎧-=+-⎪⎨⎨±+=±⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做仪式分解。
、与整式乘法的关系：因式分解师整式乘法的逆过程。
提取公因式法：平方差公式：、因式分解的方法公式法完全平方式：试用类型：多项式的项数不少于项。
分组分解法：分组目的：分组后能套用公式或分别分解化应用⎧⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎩⎩
简计算整除问题
二、知识巩固提高 1、分解因式：
（1）a 2b －4b 3 (2)9m 2(x －y)+4n 2(y －x)
2、分解因式
（1）（x+2）（x －3）－3x+10 （2）（x －y)2－10(x －y)+25 (3)－3x 2+6xy －3y 2
32233
3,a 216b a b ab -+、已知a+b=1,ab=
求代数式
4、已知1+a+a 2=0，求：a 1980+a 1981+a 1982+……+a 2015
32322014220145201420142015⨯+－－2012
、计算：
－
6、求证：当n 为正整数时，（n+7）2－（n －5)2一定能被24整除。
7、分组分解
（1）a 2－ab+ac －bc; (2) m 2+5n －mn －5m
8、因式分解： x 4
+4
9、（1)计算：（x+a)(x+b)= .
（2）由上面的计算可知：x 2+(a+b)x+ab= .
(3)若设p=a+b,q=ab,那么多项式x 2+px+q= 。
利用上面的方法分解因式：
（1）x 2+4x+3 （2）x 2－5x+6 (3) x 2－２x －8
分解因式练习：
1、4x 3
－6x 2
＝ ； 2、m(a －b)－n （b －a ）＝ 3、m 4
－36 m 2
＝ ；4、（2x ＋y ）2
－（x ＋2y ）2
＝ 5、p 4
－1＝ 6、若x 2
－2（m ＋3）x ＋16是完全平方式，则m 的值为 7、a 2
－2a （b ＋c ）＋（b ＋c ）2
=
22
x y 8xy 22-+
、
=
9、xy 2
－2xy ＋x=
10、a 2 b 2 －a 2 －b 2 －1= ；11、（x ＋y ）2 －2（x 2 －y 2 ）＋（x －y ）2
12、x 2
－5x ＋6 13、x 2
－5x －6 14、x 2
＋5x －6 15、2x 2 －20x ＋50 16、（a ＋2）（a －8）＋25
17、a 2 ＋2ab ＋b 2 ＋4a ＋4b ＋4 18、已知a －b ＝3，ab ＝－1，求a 2 b －ab 2
的值。
19、证明：817
－279
－913
能被45整除。
20、已知：a 、b 为自然数且a 2
－b 2
＝45，求a 、b 的值。
21、若x2 ＋y2 ＋2x－8y＋17＝0，求y/x的值。
22、若一个三角形边长为a、b、c，且a2 ＋2b2 ＋c2 －2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由。
23、若非零实数a、b满足4a2 ＋b2 ＝4ab，求b/a的值。
24、若两个两位数的十位数字相同，而它们的个位数字之和为10，研究它们积的规律，并证明你的结论。
25.设y＝（x－1）（x－3）（x－4）（x－6）＋10证明：不论x取任何实数，y的值总大于0。
26.分解因式：x2＋4xy＋4y2－4x－8y＋3
27.若a2＋ba＋12能分解为两个一次因式的乘积，且b为整数，则b＝。
28、在实数范围内分解因式①x2－3 ②5x2－4
29、证明：两个相邻奇数的平方差是8的倍数。