2011-2012学年度第一学期期中试题高三理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}{2,A x x x R =≤∈,{4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=（ ）(A)(0,2) (B)[0,2] (C){}0,2 (D){0,1,2}2.设,a b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） （A ）31,22a b == (B)3,1a b == (C)13,22a b == (D)1,3a b ==3.曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ）（A ）21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D) 22y x =--4.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（ ） (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) -25.已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数;2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12""p p 或，2q ：12""p p 且，3q ：()12""p p 非或和4q ：()12""p p 且非中，真命题的是（ ）（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q6.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）（A ）88A 种 （B ）812A 种 （C ） 8188A C 种 （D ）8189A C 种7.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）(A) 2a π (B) 273a π (C)2113a π (D) 25a π8.设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） (A) 2 (B)3 (C)31+ (D) 51+ 9.设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a ⨯=，37S =,则5S =（ ） （A ）152 (B)314 (C)334 (D)17210. 函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） （A ）.()+∞,0 （B ）.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, (C). ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 (D). ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为_______ 12. 阅读程序框图（如下图所示），回答问题：若5log ,6.0,56.056.0===c b a ,则输出的数是 ．13. 过点()5,1A 的圆C 与直线0x y -=相切于 点()3,3B ，则圆C 的方程为____14. 已知：14x y -<+<且23x y <-<，第12题图则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示）15. 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A.(几何证明选做题) 如图，圆O 的直径10AB =，弦DE AB ⊥于点H ，2HB =． 则DE =____________；B.(坐标系与参数方程选做题)已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 当α=3π时，1C 与2C 的交点坐标为_______C.（不等式选做题）若不等式1|21|||a x x-?对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值 17.（本小题满分12分）已知：12,F F 是椭圆22124x y +=的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB 和分别交椭圆于A 、B 两点。

（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求直线AB 的斜率；18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点． （I ）求证://AP 平面EFG ;（II ）求平面GEF 和平面DEF 的夹角.第17题图第18题图ＡＢ ＤＥＨ Ｏ几何选做题图19.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)14,13；第二组[)15,14，……，第五组[]18,17．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米 测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m ， 求事件“1>-n m ”的概率.20.（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n ++=+∈N ． （I ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？（II ）在（I ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．21.（本小题满分15分）已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （Ⅰ）求函数2()[,]f x e e 在上的最小值；（Ⅱ）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex-＞成立.19题图第19题图高2012届数学期中考试参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A AACDBDBC11. 333333212345621+++++= 12 6.0513. ()()22422x y -+-= 14. ()3,815. A 8 B ()131,0;,22⎛- ⎝⎭C 13[,]22-三． 解答题16. 解：由1sin sin 3x y +=得[]()1sin sin 1,1,sin 1,13y x x =-∈-∈-，所以2sin ,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；()22212sin cos sin 1sin sin sin 33y x x x x x -=---=--2111sin 212x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最大值且最大值为49。

17. 解：（Ⅰ）椭圆方程为22124x y +=， 122),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(2),(,2),PF x y PF x y =-=--u u u r u u u u r221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=u u u r u u u u rQ 点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=，得0y =，则点P的坐标为； （Ⅱ）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为(0)k k >，则PB的直线方程为：(1)y k x -=-；由22(1)124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2))40k x k k x k +++-=设(,),B B B x y则2222(2122B k k k x k k --=-=++同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+； 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以：AB的斜率A BAB A By y k x x -==-18. 解：（I ）如图，以D 为原点,以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r为方向向量建立空间直角坐标系,xyz D -则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(A F E G C P .)11,1(),0,1,0(),2,0,2(-=-=-=∴EG EF AP .设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =r0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即⎩⎨⎧=-+=-.0,0z y x y ⎩⎨⎧==∴.0,y z x令1=x , 则(1,0,1)n =r.1(2)00120,.n AP n AP ⋅=⨯-+⨯+⨯=∴⊥r u u u r r u u u r Q又⊄AP 平面//,AP EFG ∴平面.EFG（II ）Θ底面ABCD 是正方形,,DC AD ⊥∴又⊥PD Θ平面ABCD.AD PD ⊥∴又D CD PD =I ,AD ∴⊥平面PCD 。

∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量,)0,0,2(=又由（1）知平面EFG 的法向量(1,0,1)n =r.cos ,2||||DA n DA n DA n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r∴二面角D EF G --的平面角为045.19. 解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人）所以该班成绩良好的人数为27人.（Ⅱ）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，设为x 、y 、z ；成绩在[]17,18 的人数为408.050=⨯人，设为A 、B 、C 、D .若[)14,13,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；若[],17,18m n ∈时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况； 若n m ,分别在[)14,13和[]17,18内时，所以基本事件总数为21种，事件“1>-n m ”所包含的基本事件个数有12种.∴P （1>-n m ）=742112= 略解2：114327124217C C P C ===g20. 解：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， ∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． （II ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得10,221-==d d ，∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=． 21. 解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e '∈+∞>单调递增1,e e<Q 所以函数2()[,]f x e e 在上单调递增，()min ln f x e e e ∴== （Ⅱ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；（Ⅲ）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞，由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()x xm x e-'=，易知max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>- 成立。