2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（三）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|9x 2−3<1}，B ={y|y <2}，则(∁R A)∩B =( )A. [23,2) B. ⌀C.D. (−23,23)2.√3+i −1+√3i=( )A. −iB. −2iC. −√32−iD. −√32+12i3. 命题“∀x ≥0，sinx ≤1”的否定是( )A. ∀x <0，sinx >1B. ∀x ≥0，sinx >1C. ∃x <0，sinx >1D. ∃x ≥0，sinx >14. 已知(1−2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1−2x )n (1+x )展开式中含x 2项的系数为( )A. 71B. 70C. 21D. 495. 将不等式组{x −y +1≥0x +y −1≥0，表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是( )A. (−3,1)B. (1,−3)C. (1,3)D. (3,1)6. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的众数分别是( )A. 20、80B. 20、81C. 17、80D. 17、817. 设a ，b 是两不同直线，α，β是两不同平面，则下列命题错误的是( )A. 若a ⊥α，b//α，则a ⊥bB. 若a ⊥α，b ⊥β，α//β，则a//bC. 若a//α，a//β则α//βD. 若a ⊥α，b//a ，b ⊂β，则α⊥β8.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.9.某程序的程序框图如图所示，若输入的x=2，则输出的x=()A. −1B. 12C. 1D. 210.已知F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在点A，满足2|AF1|−3|AF2|=a，则双曲线C的离心率的取值范围是()A. (1,4]B. (1,4)C. (1,2]D. (1,2)11.过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=()A. 1B. 2C. 3D. 412.已知正四棱锥S−ABCD的五个顶点在表面积为25π3的同一球面上，它的底面边长为2，则它的侧棱与底面所成角的正弦值为()A. √155B. √105C. 15D. √612二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，则|2a⃗−3b⃗ |=______ ．14.设各项均为正数的等比数列{a n}中，若a4=2，a6=5，则数列{lga n}的前9项和等于______．15.一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为______．16.已知函数f(x)=e x−mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAa +cosBb=1c．(1)证明：a，c，b成等比数列(2)若c=3，且√3sin2C=2cos2C+1，求△ABC的周长18.如图，己知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．E为棱AB的中点，PE⊥CE，AB=4，AD=2，PD=PE=2√2．(Ⅰ)证明：平面PDE ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角D −PC −E 的余弦值．19. 张锐参加“智力闯关”活动，活动的规则如下：参赛选手需回答4道题目，第1，2题每题1分，第3，4题每题3分，答错或不答得0分，比赛结束后统计分数(即前三题无论答对还是答错，比赛均继续).若张锐前2题每题答对的概率为35，后2题每题答对的概率为15，且每题是否答对相互独立．记X 为张锐的得分，要求：所有概率用分数表示．求： (1)张锐至少答对1道题目的概率； (2)X 的分布列和数学期望．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x ∈(1,+∞)时，lnx <x −1<xlnx ．22. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 坐标为(2,2)，求|AP|+|BP|的最小值．23.设a，b，c均为正数，证明：a2b +b2c+c2a≥a+b+c．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查了的集合基本运算，根据题意求解出集合A、B，在计算出补集A与B的交集即可；【解答】解：由题意得，A={x|−23<x<23}，则∁R A={x|x≤−23或x≥23}，，故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．【解答】解：√3+i−1+√3i =√3+i)(−1−√3i)(−1+√3i)(−1−√3i)=−4i4=−i．故选A．3.答案：D解析：解：∵“∀x≥0”的否定是“∃x≥0”，“都有sinx≤1”的否定是“使得sinx>1”，∴“∀x≥0，都有sinx≤1”的否定是“∃x≥0，使得sinx>1”．故选：D通过全称命题的否定的特称命题，先否定题设，再否定结论．本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答．注意全称命题与特称命题的否定关系．4.答案：B解析： 【分析】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．属于基础题． 【解答】解：因为奇数项的二项式系数之和为2n−1，所以2n−1=64⇒n =7，因此(1−2x )7(1+x )展开式中含x 2项为T 3 =C 72(1)5(−2x )2+C 71(1)6(−2x 2)， 故系数为C 72(−2)2+C 71(−2)=70，故选B ．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查不等式的平面区域． 把点代入验证，即可得． 【解答】解：因为点(3,1)同时满足x −y +1=3−1+1>0与x +y −1=3+1−1>0， 因为不等式组{x −y +1≥0x +y −1≥0，表示的平面区域记为Ω，所以点(3,1) 属于Ω． 故选D ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查了茎叶图中的极差以及众数的计算，明确各定义是关键，属于基础题． 根据茎叶图计算甲的极差，找出乙成绩中出现最多的数据即可． 【解答】解：由茎叶图可知，甲成绩的极差为95−78=17，乙运动员的众数，80；故选C．7.答案：C解析：解：利用正方体模型：对于A：若a⊥α，b//α，则a⊥b，故此命题为真命题；对于B：若a⊥α，b⊥β，且α//β，则a//b，由面面垂直的性质可知，此命题为真命题；对于C：设正方体的下底面为α，左侧面为β，a为右侧面与上底面的交线，则a//α，a//β，但a⊥β，故此命题为假命题；对于D：若a⊥α，b//a，则b⊥α，b⊂β，面面垂直的判定定理知：α⊥β正确．故答案为C借助于正方体模型加以解决：A命题为真命题；由面面垂直的性质可知，B命题为真命题；对于C：设正方体的下底面为α，左侧面为β，a为右侧面与上底面的交线，则a//α，a//β，但a⊥β；面面垂直的判定定理知D命题为真命题．本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．8.答案：B解析：【分析】【解答】解：由函数，得，定义域为{x|x≠0}，故排除A，当x=1时，f(x)=0，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)>0，故排除C，D，故B正确。

故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得：x=2，i=1，执行循环体，x=−1，i=2，，i=3；不满足条件i≥8，执行循环体，x=12不满足条件i≥8，执行循环体，x=2，i=4；不满足条件i≥8，执行循环体，x=−1，i=5；，i=6；不满足条件i≥8，执行循环体，x=12不满足条件i≥8，执行循环体，x=2，i=7；不满足条件i≥8，执行循环体，x=−1，i=8；满足条件i≥8，退出循环，输出x的值为−1．故选：A．10.答案：A解析：【分析】本题考查了双曲线的定义与性质，属于中档题．求出|AF1|，|AF2|，根据三点位置关系列出不等式得出e的范围．【解答】解：由双曲线的定义可知|AF1|−|AF2|=2a，又2|AF1|−3|AF2|=a，∴|AF1|=5a，|AF2|=3a，又|F1F2|=2c，∴8a≥2c，即e≤4，又e>1，∴1<e ≤4．故选：A ．11.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．利用抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，求出B 的坐标，可得直线l 的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．【解答】解：∵x 2=2y ，∴y′=x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B(1,12)，∵x 2=2y 的焦点F(0,12)，准线方程为y =−12，∴直线l 的方程为y =12，∴|AF|=1．故选A ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查正四棱锥的结构特征和线面角，属于中档题．由正四棱锥外接球的表面积为25π3可得球的半径，由球的半径和底面对角线的长可得S 到底面的距离，故可得侧棱长，因此求得侧棱与底面所成角的正弦值．【解答】解：设球半径为R ，则解得R =5√36，∵正四棱锥底面边长为2，∴底面的对角线长为2√2，设S 在底面的投影为F ，则SF ⊥底面ABCD ，则球心O 在直线SF 上，连接OA ，AC ，则F 在AC 上，如图所示，则侧棱SA 与底面所成角为∠SAF ．|OF|=√|AO|2−|AF|2=√(5√36)2−(√2)2=√36， ∴|SF|=|OS|+|OF|=5√36+√36=√3，∴|AS|=√|AF|2+|SF|2=√2+3=√5，∴sin∠SAF =|SF ||SA |=√3√5=√155， 即侧棱与底面所成角的正弦值为√155， 故选A ．13.答案：√53解析：解：∵向量a ⃗ =(−2,1),b ⃗ =(1,0)，∴a ⃗ 2=5，b ⃗ 2=1，a⃗ ⋅b ⃗ =−2+0=−2， ∴|2a ⃗ −3b ⃗ |=√(2a ⃗ −3b ⃗ ) 2=√4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=√53， 故答案为√53．求出a ⃗ 2，b ⃗ 2，a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，由|2a ⃗ −3b ⃗ |=√(2a ⃗ −3b ⃗ ) 2=√4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b⃗ +9b ⃗ 2 求得结果． 本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a ⃗ 2，b ⃗ 2，a⃗ ⋅b ⃗ 的值，是解题的关键．14.答案：92解析：解：∵a4=2，a6=5，∴a5=√a4a6=√10．则数列{lga n}的前9项和=lg(a1a2⋅…⋅a9)=lg(a5)9=92．故答案为：92．a4=2，a6=5，可得a5=√a4a6.再利用等比数列的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：16解析：解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，故几何体的体积V=13×12×1×1×1=16，故答案为：16．根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：(2,+∞)解析：【分析】求导函数，利用曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，可得m=e x+2有解，即可确定实数m的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确等价转化是关键．【解答】解：∵f(x)=e x−mx+1，∴f′(x)=e x−m，∵曲线C存在与直线y=12x垂直的切线，∴f′(x)=e x−m=−2有解，∴m=2+e x>2，故答案为：(2,+∞)．17.答案：(1)证明：由正弦定理及cosAa +cosBb=1c．得：cosAsinA +cosBsinB=1sinC，所以：sin(A+B)sinAsinB =1sinC，所以：sin2C=sinAsinB，由正弦定理得：c2=ab，故：a，c，b成等比数列．(2)由√3sin2C=2cos2C+1，所以：√3sin2C−cos2C=2，所以：sin(2C−π6)=1，解得：C=π3．由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC，由于：c=3．故：ab=c2=9．于是得：9=(a+b)2−3ab=(a+b)2−27，解得：a+b=6．所以△ABC的周长为a+b+c=9．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果．18.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形．E 为棱AB 的中点，PE ⊥CE ，AB =4，AD =2，PD =PE =2√2．∴DE =CE =√22+22=2√2，∴DE 2+CE 2=CD 2，∴DE ⊥CE ，∵DE ∩PE =E ，DE 、PE ⊂平面PDE ，∴CE ⊥平面PDE ，∵CE ⊂平面ABCD ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．解：(Ⅱ)以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，过E 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，P(√2,0，√6)，D(2√2,0，0)，C(0,2√2,0)，E( 0,0，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√6)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2√2,−√6)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√6)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)， 设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√6z =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +2√2y −√6z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,√3,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√6z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2y =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0,−1)， 设二面角D −PC −E 的平面角为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅√4=√77． 由图可知二面角D −PC −E 为锐二面角，∴二面角D−PC−E的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)推导出PE⊥CE，DE⊥CE，从而CE⊥平面PDE，由此能证明平面PDE⊥平面ABCD．(Ⅱ)以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D−PC−E的余弦值．19.答案：解：(1)记事件A为“张锐至少答对1道题目”，则A为“张锐答对0道题目”.因此P(A)=1−P(A)=1−25×25×45×45=561625.(2)由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8.所以P(X=0)=25×25×45×45=64625，P(X=1)=2×35×25×45×45=192625，P(X=2)=35×35×45×45=144625，P(X=3)=2×25×25×15×45=32625，P(X=4)=4×35×25×15×45=96625，P(X=5)=2×35×35×15×45=72625，P(X=6)=25×25×15×15=4625，P(X=7)=2×25×35×15×15=12625，P(X=8)=35×35×15×15=9625．所以X的分布列是X012345678P所以EX=0×64625+1×192625+2×144625+3×32625+4×96625+5×72625+6×4625+7×12625+8×9625=125．解析：(1)记事件A为“张锐至少答对1道题目”，则A为“张锐答对0道题目”.利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．(2)将x所有可能的概率求出，再列分布表即可．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得a=2，e=ca =√32，所以c=√3．因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k 4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1． 所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112． 经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)函数f(x)=lnx −x +1的导数为f′(x)=1x −1，由f′(x)>0，可得0<x <1；由f′(x)<0，可得x >1．即有f(x)的增区间为(0,1)；减区间为(1,+∞)；(2)证明：当x ∈(1,+∞)时，由(1)可得f(x)=lnx −x +1在(1,+∞)递减，可得f(x)<f(1)=0，即有lnx <x −1；设F(x)=xlnx −x +1，x >1，F′(x)=1+lnx −1=lnx ，当x >1时，F′(x)>0，可得F(x)递增，即有F(x)>F(1)=0，即有xlnx >x −1，则原不等式成立；解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出lnx <x −1，设F(x)=xlnx −x +1，x >1，根据函数的单调性求出F(x)>0，证明结论即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． 22.答案：解：(1)直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，∴√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0；曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． ∴曲线C 1的普通方程为(x +1)2+(y +2)2=4．(2)∵点P 在直线x +y =4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C 1是以(−1,−2)为圆心，半径r =2的圆．∴|AP|min =|PC 1|−r =√(2+1)2+(2+2)2−2=3．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．23.答案：证明：∵a2b +b2c+c2a+a+b+c=(a2b+b)+(b2c+c)+(c2a+a)≥2a+2b+2c即得a2b +b2c+c2a≥a+b+c成立．解析：把不等式的左边加上a+b+c，再利用基本不等式证明它大于或等于2(a+b+c)，即可得到要证的不等式成立．本题考查基本不等式的应用，难点在于通过观察分析、构造不等式，属于中档题．。