第五章： 对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。

（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅ )],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μμμ++=⋅)],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z yy x x +++++=μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-=xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅=21P249 设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

根据前一题的结论：V rT ∇⋅=ˆ2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ∇⋅的式子及其定态下平均值。

zV z y V y x V xV r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∑∂∂+∂∂+∂∂=k j i ijk z y x C zz y y x x)( ∑∑∑---++=111k j i ijk k j i ijk k j i ijkz y x kC z z y x jC y z y x iC x∑++=ijkkj i ijkz y x Ck j i )( ),,(z y x nV =这个关系在数学分析中称Euler 的齐次式定理。

再利用（２）即得：V n T =2 （３）本证明的条件只要V r ∇⋅不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。

现将其直接用于几种特例，并另用（２）式加以验证。

（１）谐振子：)(2232221z y x V ωωωμ++=直接看出2=n ，根据（３）式知道V T 22=，即 V T =也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论zVz y V y x V xV r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅ z z y y x x 321μωμωμω⋅+⋅+⋅=V z y x 2)(232221=++=ωωωμV V r 2=∇⋅，由（３）式可知V T =（２）库仑场 2221zy x V ++=直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅2/32222/32222/3222)()()(z y x zz z y x y y z y x x x ++-⋅+++-⋅+++-⋅=V z y x -=++-=2221 V V r -=∇⋅代入（２）式，亦得到 V T -=2（３）场2222)(),,(n nz y x C Cr z y x V ++== 直接看出Ｖ是z y x ,,的n 次齐次式，故由（３）式得：V n T =2仍根据（２）式来验证：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅)2()(2)2()(21222212222y z y x n y x z y x n x n n ⋅++⋅+⋅++⋅=--)2()(212222z z y x nz n⋅++⋅+-V n z y x n n=++=2222)(由（２）得 V n T =2，结果相同。

本小题对于n 为正、负都相适，但对库仑场的奇点0=r 除外。

P260求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。

（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(ˆt A应满足：]ˆ,ˆ[1ˆH A i dt A d = （１） 又对于自由粒子，有μ2ˆˆ2p H =（p ˆ 不随时间t 变化）令)(ˆ)(ˆt x t A=为海氏表象座标算符；代入（１）]2ˆ),(ˆ[1)(ˆ2μpt x i dt t x d =]ˆ),(ˆ[21)(ˆ2p t xidt t x d μ= （２） 但 x p p x p t xˆˆˆˆ]ˆ),(ˆ[222-= x p p p x p p x p p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+-= p i p x p p p xˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ =+= （３） 代入（２），得：μμpi p i dt t x d ˆ21ˆ2)(ˆ==积分得 C t p t x+=μˆ)(ˆ将初始条件0=t 时，)0(ˆ)(ˆx t x =代入得)0(x C =，因而得到一维座标的海氏表象是： )0(ˆˆ)(ˆxt p t x+=μP260求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。

解：用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：2ˆ21ˆ222x p H μωμ+= （１） 解法同于前题，有关坐标)(ˆt x的运动方程式是：]2)(ˆ2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t p t x i dt t x d μωμ+= （２） 将等式右方化简，用前一题的化简方法：μμωμμωμ)(ˆ]ˆ,ˆ[2]ˆ,ˆ[21]2,ˆ[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+∂)(ˆ1)(ˆt pdt t xd μ= （３）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ˆ与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：]2)(2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t pt p i dt t p d μωμ+= 化简右方}ˆˆˆˆ{2]2)(),([122222p x x p hit x t p hi -=μωμω =}ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ{22p x x x p x x x phi--μω =)(ˆ]}ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ{[2222t x x p x x x phiμωμω-=- )(ˆ)(ˆ2t xdtt pd μω-=⑷ 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符)(ˆt x的微分方程式: 0)(ˆ)(ˆ22=+t x dtt x d ω ⑸ 这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率ω，它的解是：t B t A t xωωsin ˆcos ˆ)(ˆ+= ⑹ Aˆ，B ˆ待定算符，将它求导，并利用⑶： )sin ˆcos ˆ()(ˆt A t B t pωωμω-= ⑺ 将t=0代入：x(0)=A P （0）=μωB ，最后得解：t pt x t xωμωωsin )0(ˆ1cos )0(ˆ)(ˆ+= ⑻ )sin )0(cos )0()(t x t p t p ωμωω-= ⑼在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：xi p x x∂∂== )0(ˆˆ)0(ˆc.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley5.1设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明[][]H H A A dt d ,,222=-证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1=,令[]C H A =, 则[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1,11222 -===, [][]H H A A dtd ,, 222=-∴5.1证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。