4.29——6.1
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
Lx
2
= Ly
2 2
2
Lx + L y Lx
2
= L − Lz
2
2
2
= l ( l + 1) − m 2 2
[
]
∴
上题已证
= Ly
=
1 l ( l + 1) − m 2 2 2
ˆl ˆ ˆ ˆ l + + − l− l− )
再求它们在态 Yim 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是
1 lˆx2 = (Yim , (lˆ+ lˆ+ + lˆ+ lˆ− + lˆ− lˆ+ + lˆ− lˆ− )Yim ) 4 1 lˆy2 = (Yim , (lˆ+ lˆ− + lˆ− lˆ+ − lˆ+ lˆ+ − lˆ− lˆ− )Yim ) 4 l x2 = 1 (Y ∗ im (lˆ+ lˆ+ + lˆ+ lˆ− + lˆ− lˆ+ + lˆ− lˆ− )Yim dΩ ∫ ∫ 4Ω 1 (Y ∗ im (lˆ+ lˆ− + lˆ− lˆ+ − lˆ+ lˆ+ − lˆ− lˆ− )Yim dΩ 4 ∫Ω∫ (l − m)(l + m + 1)Yi ,m + 1 (l + m)(l − m + 1)Yi ,m − 1
ⅳ ） λ = 2 ， b = 2a ， c =
1 Lx = 2 的振幅为 C 2 ( 0 0 1 0 0 ) 4
1 2 6 3 2 C 2 。几率为 C 2 ； 6 = 4 8 2 1
ⅴ） λ = − 2 ， b = − 2a ， c =
(
)
0 1 0 a a 1 求本征矢并令 = 1 ，则 1 0 1 b = λ b ， 2 c 0 1 0 c
得， b =
2λ a ， a + c =
2λ b ， b =
2λ c 。 λ = 0,± 1 。
ⅰ） λ = 0 ， b = 0 ， a = −
3 c，d = 0，e = − 2
L x = 0 的振幅为。几率为 C 2
2
4
；
1 1 1 0 。 在 C 2Y20 态 下 ， 测 得 Lx = 的 振 幅 为 ⅱ） λ = 1， b = a ， c = 0 ， d = − b ， d = e ，本征矢为 2 − 1 − 1 1 1 1 C 2 ( 0 0 1 0 0) 0 = 0 ，几率为 0 。 2 − 1 − 1 − 1 − 1 1 0 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 几率为 ⅲ） λ = − 1 ， b = − a ， c = 0 ， d = − b ， e = − d ，本征矢为 2 1 1 0。 c 1 e = = a ，本征矢为 6 a ， d = 2e = 2 a ， 4 6 1 2 6 ， 在 C 2Y20 态 下 ， 测 得 2 1
利用基本对易式
L × L = i L ，
2
可得算符关系 iLx = iLx Lx = L y Lz − Lz L y Lx = L y ( Lz Lx ) − Lz L y Lx
(
)
= L y ( Lx L z + iL y ) − Lz L y Lx = iL y + L y Lx L z − Lz L y Lx
lxl y = 1 m 2 i = − l x l y , 说明 lˆx lˆy 不是厄密的。 lˆx2 ， lˆy2 的平均值见下题。 2
4.30 设粒子处于 Ylm (θ , ϕ ) 状态下，求 ( ∆ Lx ) 2 和 ∆ L y 解：记本征态 Ylm 为 lm ，满足本征方程
(
)
2
L2 lm = l ( l + 1) 2 lm ， Lz lm = m lm ， lm Lz = m lm ，
在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。 4.30——6.2 4.31——6.5，6.9，6.14 4.31 设体系处于ψ = C1Y11 + C 2Y20 状态（已归一化，即 C1 （a） Lz 的可能测值及平均值; （b） L2 的可能测值及相应的几率； （c） L x 的可能测值及相应的几率。 解：
∫∫ Y ∫∫ Y ∫∫ Y ∫∫ Y
∗
im + +
lˆ lˆ Yim dΩ = 常数 × lˆ lˆ Yim dΩ = 常数 ×
∫∫Y ∫∫ Y
∗
im i , m + 2
Y
dΩ = 0 dΩ = 0
∗
im − −
∗
im i , m − 2
Y
∗
im + −
lˆ lˆ Yim dΩ = (l + m)(l − m + 1) 2 lˆ lˆ Yim dΩ = (l − m)(l + m + 1) 2
ˆ ≡l ˆ + il ˆ l + x y
lˆ− ≡ lˆx − ilˆy
ˆ = 于是有 l x
1 ˆ ˆ (l + + l − ) 2
i lˆy = (lˆ− − lˆ+ ) 2
ˆ 2 的平方，用 lˆ lˆ 来表示： 求其符 l x + − 1 lˆx2 = (lˆ+ lˆ+ + lˆ+ lˆ− + lˆ− lˆ+ + 4 ˆ 2 = 1 (l ˆl ˆ ˆ ˆ l y + − + l− l+ − 4 lˆ− lˆ− )
∗
im − +
注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算， 再代进积分式中，如：
lˆ+ lˆ− Yim = lˆ+ (l + m)(l − m + 1)Yl ,m − 1 = = (l + m)(l − m + 1) ⋅ lˆ+ Yl ,m − 1 (l + m)(l − m + 1) [l − (m − 1)][(l + (m − 1) + 1 ⋅ Yl ,m
（b） L2 的可能测值为 2 2 ， 6 2 ，相应的几率为 C1 ， C 2 。 （c）若 C1 ， C 2 不为 0，则 L x （及 L y ）的可能测值为： 2 ， ，0， − ， − 2 。
2
2
0 1 0 1） L x 在 l = 1 的空间， L2 , L z 对角化的表象中的矩阵是 1 0 1 2 0 1 0
(
)
1 2 1 j m − 1 jx j m = 2 j m + 1 jx j m =
( j − m )( j + ( j + m )( j −
m + 1) m + 1) 3 ， 2 − 1 jx 2 − 2 = 1 。 2
∴
2 2 jx 2 1 = 1 ， 2 1 jx 2 0 =
3 ， 2 0 jx 2 − 1 = 2
2
+ C2
2
= 1 ），求
L2Y11 = 2 2Y11 ， L2Y20 = 6 2Y20 ； L z Y11 = Y11 ， L z Y20 = 0Y20 。
（a）由于ψ 已归一化，故 Lz 的可能测值为 ，0，相应的几率为 C1 ， C 2 。平均值 L z = C1 。
2 2 2
b = λ a，a +
3 3 ( b + d ) = λ c ， 3 c + e = λ d ， d = λ e ， λ = 0,± 1,± 2 。 c = λb， 2 2 2 3 3 − c 本征矢为 8 2 1 0 0 0 2 。在 C 2Y20 = C 2 1 态下，测得 3 0 0 0 1