多元函数微积分复习题————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 （ B )（A) 充分而不必要条件; (B ） 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件．2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(Ａ） 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ） 必要而且充分条件; (D ） 既不必要也不充分条件.3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )．(A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件;(Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在， 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;Ｂ. 可微⇒可导⇒连续;C ． 可微⇒可导, 或可微⇒连续， 但可导不一定连续; Ｄ. 可导⇒连续， 但可导不一定可微.6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b =（ A )(A) 3 (B ） 3-(Ｃ） 2- (D ） 25．已知三点M(1，2，1)，Ａ(2，1,1）,B(2,1，2） ,则→→•AB MA = ( Ｃ ) （A ） －1； （B ） １; (Ｃ） ０ ; (D) ２；６.已知三点M （0，1,1）,A(２,2，1),B （２，1,３） ,则||→→+AB MA =( Ｂ ) (A ）;2-ﻩ (B) 22;（C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_＿___D___＿. Ａ.20(,)a a adx f x y dy -⎰⎰B. 22202(,)aa x dx f x y dy -⎰⎰Ｃ. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BＡ. ln30(,)ye dyf x y dx ⎰⎰B. ln33(,)y e dy f x y dx ⎰⎰C ． ln330(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰ 可以写成＿_＿________. ＤＡ. 210(,)y y dy f x y dx -⎰⎰Ｂ. 21100(,)y dy f x y dx -⎰⎰C ． 110(,)dx f x y dy ⎰⎰ Ｄ. 210(,)x x dx f x y dy -⎰⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域,在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分,________.I = ＣA ．22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C. 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D. 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰1１．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P ,（ C ）（A) a (B ） c(C ） 0 (D ） d 1２．设L 为y x 0面内直线段,其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ Ｃ )（A) a （B ） c(C ） 0 (Ｄ) d13．设有级数∑∞=1n nu,则lim =∞→n n u 是级数收敛的( Ｄ )(A ） 充分条件; (B) 充分必要条件; (C) 既不充分也不必要条件； （Ｄ) 必要条件;１4．幂级数∑∞=1n nnx的收径半径Ｒ =（ D )(A) 3 (B ） 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n 的收敛半径=R（ Ａ ）（A) 1 (B) 0 (C) 2 (D ） 316．若幂级数∑∞=0n nnxa的收敛半径为R ,则∑∞=+02n n nx a的收敛半径为（ A )(Ａ) R (B) 2R(C ） R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=， 则级数1n n u ∞=∑（ ） DＡ. 收敛且和为 Ｂ． 收敛但和不一定为ﻡ C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 １８. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( Ｂ )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛， 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠1９. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( Ａ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛 C ． 发散 D. 敛散性不定 ２0. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑， 则该级数（ B )A. 是发散级数 Ｂ. 是绝对收敛级数Ｃ. 是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散二、填空题1.设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+,则 =')1,0(x f ___1_＿_.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0＿_____．3.二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5.柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6.设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。

7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π ８． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2Ddxdy =⎰⎰6π９.设()y x f ,在[0, 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ,则()()⎰⎰11dy y f x f dx =＿＿___９__＿＿__＿_．10．设L 为连接(1, 0)与(0, １)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰2 ．１1．设L 为连接(1, 0)与(0, １)两点的直线段,则 ().___________=-⎰Lds y x 012.等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.１3．当__1ρ>＿_时，-p 级数∑∞=11n pn 是收敛的.14．当_＿＿＿____＿时,级数()∑∞=--1111n p n n是绝对收敛的. 1ρ> １５.若(,)xf x y xy y=+， 则(2,1)_________.x f = 12,16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18.设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x -19. 积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于_________.41(1)2e --,20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰， 则_______.a = 22１.设2I dxdydz Ω=⎰⎰⎰, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I = 343a π三、计算题1． 求过点()2,0,1- 且与平面25480x y z -+-=平行的平面方程.解: 已知平面的法向量n=(2,-５,4),所求平面的方程为2(ｘ +2)-5（y -0)＋4(z -１)=0 即 2 x -7５y +4ｚ ＝ ０2.求经过两点M １（1-，2-，2)和 Ｍ2（３，0,１）的直线方程。

. 解： →21M M = (4, 2 ,1- ） 所求直线方程为122421x y Z ++-==- ３.求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.解: 所求的平面方程为()()()3023120x y z --++-=即 3280x y z -+-=ﻩ4．设()y xy f z ,=,其中f 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2解: ,1yf xz=∂∂()()1211112f f x y f f y yx z y y x z ''+''+'='∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂5．设x y y x arctan ln 22=+， 求dxdy解: 方程两边对x 求导得()2222221122211xyy x x y y y x y x y x -'⋅⎪⎭⎫⎝⎛+='++⋅+ 由此得 yx yx y -+='6.设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏阶导数,求22xz∂∂。