练习题一 多元函数微分学部分练习题1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限y x yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z =（2）x xy z )1(-=（3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z +=（7）)3cos(22y x e z yx += （8）y xy z )1(+=（9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y ez xy sin = （4）),(2y x f x z =（5）2(,)z f xy x =8求下列函数的全微分（1）xyxe z = （2）221y x z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （3）vu ez -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求x z ∂∂，yz ∂∂ （5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求x z ∂∂，yz ∂∂； 11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z=，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf .二 多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序 （1）⎰⎰112),(xdy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分 （1）⎰⎰D xyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域. （3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+D d y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分 （1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --=以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积.7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x . 8 计算下列曲线积分 （1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+Ldy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧； （4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z 1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分. （7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az 2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldyx x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值 （5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧. 11（1）设k z j y i x r ++=，计算r rot.（2）设()A xyz xi yj zk =++，计算divA。