大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1311.若005x，则__________。

122x 1 x2x32．若齐次线性方程组x1 x2x30只有零解，则应满足。

x 1 x2x33．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。

a 11 a1 24．矩阵A aa的行向量组线性。

2122a 31 a322AE5．n阶方阵A满足30A，则1 A。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。

（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。

m（）01004.10001。

（）A，则AA000100105.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。

()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且A2，则T AA（）。

①n2②2n③2n1④412.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。

s，2，，①1，2，中任意两个向量都线性无关，s②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页大学生校园网—线性代数综合测试题④1，2，，s中不含零向量2.下列命题中正确的是()。

①任意n个n1维向量线性相关②任意n个n1维向量线性无关③任意n1个n维向量线性相关④任意n1个n维向量线性无关3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。

①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（）234①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)xabcd6.计算行列式a xbcdabxcd。

abcxd解·xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x3017.设ABA2B，且A,求B。

110014211522解.(A2E)BA ( 1A2E)221，B(A2E)1A 432111223共3页第2页大学生校园网—线性代数综合测试题110021340110 设B, 00110213C且矩阵满足关系式0021'X(CB)E,求。

000100025.问a取何值时，下列向量组线性相关？121a211,a,1232211a22。

x 1 x2x336.为何值时，线性方程组x1 x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x 1 x2x32解时求其通解。

①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c20011213490107.设.,,,1求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向23411370317量用该极大无关组线性表示。

100A，求A的特征值及对应的特征向量。

0107.设021五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且AAI，A1，证明AI0。

其中I为单位矩阵。

共3页第3页×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题8.52.13.ss，nn4.相关8.A3E二、判断正误3.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x2.211522(A2E)BA(1A2E)221， B ( A 2E)1A 4 3 2 1112233.12341000CB 012132，(C B')231210 0001432110001000CB '1 21121，XEC B'1 2112101210121共3页第4页9.11a221112 a1，a，aa(2a1)(2a2)当2322811a221a或a1时，向量组a1，a2，a3线性相2关。

10.①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c200111.121312131213(a1，a2，a3，a4) 4191310713442101416216 031703170013131002010200110000则3ra1，a，a，a，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a42a12a2a323412.1003EA010(1)002100010特征值11，对于λ1＝1，231EA000，特征向量为k0l002001五、证明题AIAAAAIAIAIA∴2IA0，∵IA0共3页第5页大学生校园网—线性代数综合测试题一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB0，则必有（）(A)A0或B0;(B)AB0；（C）A0或B0;(D)AB0。

2、A和B均为n阶矩阵，且222(A B)A2ABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)ABBA。

3、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A的秩小于n；(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式A5，A是A的伴随矩阵，则A=。

6、A为nn阶矩阵，且220AAE，则1 (A2E)。

121 x117、已知方程组23 a2x3无解，则a。

21a2 x348、二次型222fxxxxxtxxxxx是正定的，则t的取值范围(,,)23221231231213是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）1x1119、计算行列式 D 11x11 111y1 1111y10、计算n阶行列式共3页第6页大学生校园网—线性代数综合测试题x3xx12nD n x x3x12nxxx12n3四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

写出证明过程）11、若向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关。

证明：(1)1能有2,3线性表出；(2)4不能由1,2,3线性表出。

12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且1 f(A)(EA)(EA)。

证明（1）(E f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。

五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。

解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设A，求一个正交矩阵P使得0321PAP为对角矩阵。

023x 1 x2x314、已知方程组x1 2x2a x30与方程组x12x2x3a1有公共解。

x 1 4x2a2x3求a的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且共3页第7页21 31，42323 54求该方程组的通解。

解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。

二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、23 t。

5三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx00D 11x1100yy1111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得： D 1x1000y0（4分）101y按第一行展开得x10Dx0y001y按第三列展开得x022Dxyxy1y。

（4分）n10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子xi 3，再通过行列式的变换化i1为上三角形行列式共3页第8页1 x x2n nDxnii131x3x2n （4分）1xx32n1 x x2nnxi3030i1003nn133x（4分）ii1四、证明题11、证明：(1)、因为2，,线性无关，所以2，3线性无关。

，33又1，2，3线性相关，故1能由2，3线性表出。

(4分)r(，，)3，123（2）、（反正法）若不，则4能由1，2,3线性表出，不妨设4kkk。

112233由（1）知，1能由2，3线性表出，不妨设1tt。

1223所以4k(tt)kk，112232233这表明2，,线性相关，矛盾。

3412、证明（1）1(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)](EA)1(E A)(E A)(EA)(E A)(E A)(E A)2E（4分）1（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]共3页第9页大学生校园网—线性代数综合测试题由（1）得：11[E f(A)](E A)，代入上式得211111f(f(A))[E(EA)(EA)](EA)(E A)(E A)(EA)(EA)22211(EA)(EA)A（4分）22五、解答题13、解：（1）由EA0得A的特征值为11，22，35。

（4分）（2）11的特征向量为11，1122的特征向量为20，。

（3分）35的特征向量为311（3）因为特征值不相等，则1,2,3正交。

（2分）（4）将010 111,2,3单位化得p11，p20，p31（2分）22101 010（5）取11Pp,p,p0123221122100（6）1PAP（1分）02000514、解：该非齐次线性方程组Axb对应的齐次方程组为Ax0共3页第10页大学生校园网—线性代数综合测试题因R(A)3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。

（5分）另一方面，记向量2()1，则23AA(2123)2A1A2A32bbb0T，就是它的一个基础解系。

根据非齐次线性方程组解的结构直接计算得(3,4,5,6)0知，原方程组的通解为3243xk1k，kR。

（7分）546515、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:x 1 x2x30,x 1 2x2a x30,x 1 4x22a x 3 0,x 1 2x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:11101110A 1124a2a10 (aa2)(1a 1).（4分）121a1001aa11°当a1时，有r(A)r(A)23，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时10100100A，000000001则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:,1共3页第11页大学生校园网—线性代数综合测试题1所以①与②的全部公共解为k0，k为任意常数.（4分）12°当a2时，有r(A)r(A)3，方程组③有唯一解,此时10000101A，0011000000故方程组③的解为:,即①与②有唯一公共解x.（4分）1111大学生校园网—V v S c ho o l.CN线性代数线性代数习案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。