例1.已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。

例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）、求实数k 的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：(1) 由321()3f x x ax b =-+，得22'()32f x x ax a =-- 令222a'()320,=-,(0)3f x x ax a x a a =--==>1得x当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表：由上述表格可知，3223()=()()()()11333327f x f a a a -=-----+=+极大值3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值(2)由（1）可知()(,)(,)3af x a -∞-+∞在和上单调递增，在-a （,a ）3上单调递减， 当33501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327a a f x f a f x <≤-=+>≥极大值极小值 a()-y f x ∴=∞在（,+）3上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得 又()y f x =在(,)3a -∞-上单调递增，且2(1)(1)0f a a a a -=-=-≤()--y f x ∴=∞a在（，）3上最多有一个实数根 于是，当01a <≤时，函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数根。

解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，① 当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意 ② 当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k综上，所求k 的取值范围为31-<k例3（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

（2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性； （Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围.解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于a ≠，所以()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。

由()'0fx =，得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。

易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（2） 当0a <时，则12x x >。

易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a内为增函数，在区间)1,(aa -为减函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

解：（Ⅰ）因为1()ln 1af x x ax x-=-+-， 所以 2'22111()(0,)a ax x af x a x x x x--+-=-+=∈+∞， 令 2()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时'()0f x ≤，函数 ()f x 在∞（0，+）上单调递减；②当1101102a a-＜＜时，＞＞，(0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；③当0a ＜时，由于110a-＜，(0,1)x ∈，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增.综上所述：（Ⅱ）因为a=11(0,)42∈，由（Ⅰ）知，1x =1，2x =3(0,2)∉，当(0,1)x ∈时，'()0f x p ，函数()f x 单调递减；[]min 117()(2)840(2,),28g x g b b b ⎡⎫==-≥∈+∞≤≥+∞⎪⎢⎣⎭当(1,2)x ∈时，'()0f x f ，函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1(1)2f =-。

由于“对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥”等价于“()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在（0,2）上的最小值12-”（*）又()g x =22()4x b b -+-，[]11,2x ∈，所以①当1b p 时，因为[]min ()(1)520g x g b ==-f ，此时与（*）矛盾 ②当[]1,2b ∈时，因为[]2min ()40g x b =-≥，同样与（*）矛盾 ③当(2,)b ∈+∞时，因为[]min ()(2)84g x g b ==-，解不等式8-4b 12≤，可得178b ≥综上，b 的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

（2010北京理数）(18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。

(Ⅱ)求()的单调区间。

（II ），.当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是. 当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是4、已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1-a3,讨论函数f(x)的单调性已知函数f(x)=xax +2(a>0)在（2，+∞）上递增，求实数a 的取值范围6、、若函数()()32111132f x x ax a x =-+-+ 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围。

2、f(x)=)1(24)1(3123>+++-a a ax x a x ，讨论函数f(x)的单调性及极值4、 已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1-a3,讨论函数f(x)的单调性 解析：f’(x)=3ax 2-6x+1(a≠0)令f’(x)= 3ax 2-6x+1(a≠0 ∴x 1=0 x 2=a2 当a>0时 x 1<x 2(导函数图象)∴f(x)在（-∞,0)和(a,+∞)上为增函数， f(x)在(0,a2)为减函数。

当a<0时 x 1=0>x 2=a2列表∴f(x)在（-∞,a2)和(0,-∞)上为减函数， f(x)在(a2，0)为增函数。

5、已知函数f(x)=xax +2(a>0)在（2，+∞）上递增，求实数a 的取值范围（0<a≤4）6、已知函数f(x)=1)1(213123+-+-x a ax x 在区间（1，4）内为减函数，在（6，+∞）内为增函数求a 的范围（5≤a≤7）2、 f(x)=)1(24)1(3123>+++-a a ax x a x ， 讨论函数f(x)的单调性及极值，（能够比较两个极值的大小）。

解：f’(x)=x 2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)令f’(x)=0 ∴x 1=2 x 2=2a ∵a>1 ∴2a>2 列表：∴f(x)的单调递增区间为(-∞,2)和[2a,+∞) f(x)的单调递减区间为(2a, +∞)。