第五章 曲线运动第五节 圆周运动 第六节 向心加速度二. 知识要点：1. 认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。

理解线速度、角速度、周期之间的关系：v=rω=2πr ／T 。

理解匀速圆周运动是变速运动。

2. 理解速度变化量和向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。

能够运用向心加速度公式求解有关问题。

3. 运用极限法理解线速度的瞬时性。

掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题。

体会有了线速度后。

为什么还要引入角速度。

运用数学知识推导角速度的单位。

三. 重难点解析： 1. 线速度（1）定义：质点沿圆周运动通过的弧长Δl 与所用时间Δt 之比叫做线速度。

它描述质点沿圆周运动的快慢。

（2）大小：t lv ∆∆=单位：m/s（3）方向：质点在某点的线速度方向沿着圆周上该点的切线方向。

2. 匀速圆周运动（1）定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。

（2）因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。

3. 角速度（1）定义：在匀速圆周运动中，连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值，就是指点的角速度。

描述质点转过圆心角的快慢。

匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

（2）大小：t ∆∆=θω，单位：rad ／s 4. 周期T 、频率f 和转速n定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T 表示，单位为秒（s ）。

做圆周运动的物体运动一秒，所转过圆周的次数叫做频率，用f 表示，单位为赫兹（Hz ）。

1 Hz=11-S 。

做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速。

用n 表示，单位为转每秒（r ／s ），或转每分（r ／min ）。

周期频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。

5. 描述圆周运动各物理量的关系 （1）线速度和角速度间的关系。

v= rω。

（2）线速度与周期的关系。

T r v π2=。

（3）角速度与周期的关系。

T πω2=。

（4）考虑频率f 则有：f πω2=，v=2πfr 。

（5）而频率f 与n 的关系为f=n 。

以上各物理量关系有：v=ωr=2πfr=2πnr 。

6. 两个有用的结论（1）在同一个转盘上的角速度相同。

（2）同一个轮子的边缘上，线速度相同，传动中线速度相同。

7. 匀速圆周运动向心加速度（1）定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，称作向心加速度。

描述线速度改变的快慢。

（2）公式：r v a 2==ω2r=r T 224π=4π2n 2r=4π2f 2r=ωv 。

（3）方向：总是沿着半径指向圆心。

（4）向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动。

【典型例题】[例1] 如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r 1=0.5 cm ，满带一边半径为r 2=3cm ，已知主动轮转速不变，恒为n l =36r ／min ，试求： （1）从动轮2的转速变化范围；（2）磁带运动的速度变化范围。

解析：本题应抓住主动轮（r 1）的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解。

（1）因为v=rω，且两轮边缘上各点的线速变相等，所以r 26022n π=r 16021n π，即n 2=21r r n 1当r 2=3cm 时，从动轮2的转速最小，n min =min/3635.0r ⨯=6r ／min.当磁带走完即r 2=0.5cm ，r 1=3cm 时，从动轮2的转速最大，为n 2max=21r r n 1=min /365.03r ⨯=216r ／min ，故从动轮2的转速变化范围是6r ／min ～216r ／min 。

（2）由v=r 12πn l 得知：r 1=0.5cm 时，v 1=0.5×10-2×2π×6036m/s=0.019m/sr 1=3cm 时，v 2=3×10-2×2π×6036=0.113m ／s 。

故磁带运动的速度变化范围是0.0 l 9m ／s ～0.1 1 3 m ／s 。

[例2] 一半径为R 的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h ，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r 为多少?解析：雨滴飞出的速度大小为v=ωR ， ①雨滴做平抛运动。

在竖直方向上有 h=221gt ②在水平方向上有 S=vt ③由几何关系知，雨滴半径 r=22s R + ④解以上几式得 r=Rg h 221ω+点评：雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出，做平抛运动，特别注意不是沿半径飞出，其间距关系见俯视图.。

值得注意的是把立体图转化为平面图这个思想很重要，有助于我们弄清各物理量间的几何关系。

[例3] 一质点沿着半径r=1 m 的圆周以n=2r ／s 的转速匀速转动，如图。

试求：（1）从A 点开始计时，经过41s 的时间质点速度的变化；（2）质点的向心加速度的大小。

解析：① 求出41s 的时间连接质点的半径转过的角度是多少?② 求出质点在A 点和41s 末线速度的大小和方向。

③ 由矢量减法作出矢量三角形。

④ 明确边角关系，解三角形求得△v 的大小和方向。

⑤ 根据r v a n 2=或a n =ω2r 求出向心加速度的大小。

答案：（1）△v=22πm/s 方向与OA 连线成45º角指向圆心O （2）a=l6π2[例4] 如图所示，一个球绕中心轴线'OO 的角速度ω做匀速圆周转动，则（ ）A. a 、b 两点线速度相同B. a 、b 两点角速度相同C. 若θ=30º，则a 、b 两点的速度之比v a ：v b =3：2D. 若θ=30º，则a 、b 两点的向心加速度之比a a ：a b =3：2解析：由于a 、b 两点在同一球上，因此a 、b 两点的角速度ω相同，选项B 正确.而据v=ωr.可知v a <v b ，选项A 错误.由几何关系有r a =r b ·cosθ，当θ=30º时，r a =23r b ，则v a ：v b =3：2，选项C 正确，由a=ω2r ，可知a a ：a b =r a ：r b =3：2，选项D 正确。

[例5] 如图所示，定滑轮的半径r=2cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s 2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω= rad ／s ，向心加速度a= m/s 2。

（滑轮质量不计）解析：根据机械能守恒有mgh=221mv，v=2m ／s 。

显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s ，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为ω=r v =02.02rad/s=100rad ／s ，向心加速度为 a=ω2r=1002×0.02m/s 2=200m ／s 2【模拟试题】1. 质点做匀速圆周运动，则（ ）A. 在任何相等时间里，质点的位移都相等B. 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等C. 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同D. 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等2. 机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为（ ）A. min 6059B. 1 minC. 5960minD. 6061min3. 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：r 1=2r 2，r 3=1.5r 1，A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为。

角速度之比为。

周期之比为。

4. 如图所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。

A 轮处装有光电计数器，它可以记录通过A处的产品数目。

已知测得轮A、B的半径分别为r A=20cm，r B=l0cm，相邻两产品距离为30cm，lmin内有41个产品通过A处，求：（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；（3）如果A轮是通过摩擦带动C轮转动，且r C=5 cm，在图中描出C轮的转动方向，求出C轮的角速度（假设轮不打滑）。

5. 如图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O匀速运动（图示为截面）。

从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。

若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为θ，求子弹的速度。

6. 如图所示，M、N是两个共轴圆筒横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动。

设从M筒内部可以通过狭缝s（与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上.如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（）A. 有可能使微粒落在Ⅳ筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上B. 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某处，如b处一条与缝s平行的窄条上C. 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处，如b处和c处与s缝平行的窄条上D. 只要时间足够长，N筒上到处都落微粒7. 关于向心加速度，下列说法正确的是（）A. 它是描述角速度变化快慢的物理量B. 它是描述线速度大小变化快慢的物理量C. 它是描述线速度方向变化快慢的物理量D. 它是描述角速度方向变化快慢的物理量8. 一质点做匀速圆周运动的半径约为地球的半径，R=R 地≈6400km ，它的线速度大小是v=l00m/s ，将这个匀速圆周运动看成是匀速直线运动你认为可以吗？试论证之。

9. 如图所示为质点P 、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线.表示质点P 的图线是双曲线，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线。

由图线可知（ ）A. 质点P 线速度大小不变B. 质点P 的角速度大小不变C. 质点Q 的角速度随半径变化D. 质点Q 的线速度大小不变10. 如图所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的41圆周，在B 点轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为 ，滑过B 点时的加速度大小为 。

11. 如图所示，一质量为m 的砂袋用长为l 的绳子拴住悬挂在O 点，被拳击运动员水平击中后，荡起的最大高度是h.求砂袋刚被击中后的瞬间，砂袋的向心加速度是多大?【试题答案】1. 解析：质点做匀速圆周运动时，相等时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，B 项正确，此时半径所转过的角度也相等，D 项正确。