知识精讲
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.
②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：
①
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
②(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
③(0)
(0)
a a
a
a a
>
⎧
=⎨
-≤
⎩
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0
a b c
++=，则0
a=，0
b=，0
c=
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a
≥，且a a
≥-；（2）若a b
=，则a b
=或a b
=-；
（3）ab a b
=⋅；
a
a
b b
=(0)
b≠；
（4）222
||||
a a a
==；
a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b
-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
绝对值
【例2】下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A ．②④⑤⑥
B ．③⑤
C ．③④⑤
D ．③⑤⑥
【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．1
2±
【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例7】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）
A ．6
B ．-4
C ．-2a +2b +6
D ．2a-2b-6
【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）
A ．y ＞0，x ＜0
B ．y ＜0，x ＞0
C ．y ＜0，x ＜0
D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0
【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（
） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号
⑤b
+
-
-
-．其中正确的有．（请填写番号）
=
+
b
a
c
b
c
a2
-
当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；
当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．
模块二 绝对值的非负性
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=
【巩固】若7322102
m n p ++-
+-=，则23_______p n m +=＋
【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值
模块三 零点分段法
1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）别求出2x +和4x -的零点值
（2）化简代数式24x x ++-
【巩固】化简12x x +++
【巩固】化简12
m m m
+-+-的值
【巩固】化简523
x x
++-．
【课堂检测】
1.若a的绝对值是1
2
，则a的值是（）
A．2 B．-2 C．1
2D．1
2
±
2.若|x|=-x，则x一定是（）
A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥1
4.若|a-3|=2，则a+3的值为（）
A．5 B．8 C．5或1 D．8或4
【家庭作业】
1.-19的绝对值是________
2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（
A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜0
7.若3230
x y
-++=，则y
x
的值是多少？。