2018-2020年安徽省中考数学复习各地区模拟试题分类（合肥专版）（10）——四边形一．选择题（共16小题）1．（2020•蜀山区校级一模）如图，在边长为152√2的正方形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 的三等分点，点P 在正方形的边上，则满足PE +PF ＝5√5的点P 的个数是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．162．（2020•瑶海区二模）如图，菱形ABCD 的边长为2√3，∠ABC ＝60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF ＝2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是（ ）A ．4B ．4+√3C ．2+2√3D ．63．（2020•蜀山区一模）如图，在矩形ABCD 中放置了一个直角三角形EFG ，∠EFG 被AD 平分，若∠CEF ＝35°，则∠EHF 的度数为（ ）A ．55°B ．125°C ．130°D ．135°4．（2020•瑶海区二模）在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AD 边上的中点，BF 平分∠EBC 交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB 交BE 于点H ，则GH 的长为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．√5−14D ．√5+145．（2020•包河区校级一模）如图所示，∠B 的值为（ ）A ．85°B ．95°C ．105°D ．115°6．（2020•长丰县二模）如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，BC ＝10，E 为AB 边上任意点，EF ⊥BC 于点F ，EG ∥BC 交AC 于点G ，连接FG ，若四边形BEGF 为平行四边形，则AE ＝（ ）A ．2B ．3√32C ．167D ．37．（2019•蜀山区校级三模）如图，AB ＝4，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上．∠DAP ＝60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为（ ）A ．√3B ．√2C ．2D ．38．（2019•庐阳区校级模拟）▱ABCD 中，E 、F 分别在边AB 和CD 上，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ） A ．AE ＝CFB ．AF ＝ECC ．∠DAF ＝∠BCED ．∠AFD ＝∠CEB9．（2019•合肥模拟）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ＝4，P 为AC 中点，点D 在直线BC 上运动，以AD 为边，向AD 的右侧作正方形ADEF ，连接PF ，则在点D 的运动过程中，线段PF 的最小值为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．2√210．（2019•合肥模拟）如图，矩形ABCD 中，BC ＞AB ，对角线AC 、BD 交于O 点，且AC ＝10，过B 点作BE ⊥AC 于E 点，若BE ＝4，则AD 的长等于（ ）A ．8B ．10C ．3√5D ．4√511．（2019•合肥模拟）在平行四边形ABCD 中，AE 与DE 交于点E ，若AE 平分∠BAD ，AE ⊥DE ，则（ ）A ．∠ADE ＝30°B ．∠ADE ＝45°C ．∠ADC ＝2∠ADED ．∠ADC ＝3∠ADE12．（2019•合肥二模）已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．∠ADB ＝∠CBD ，AB ∥CD B ．∠ADB ＝∠CBD ，∠DAB ＝∠BCD C ．∠DAB ＝∠BCD ，AB ＝CDD ．∠ABD ＝∠CDB ，OA ＝OC13．（2019•合肥二模）如图，AD 是△ABC 的中线，点O 是AC 的中点，过点A 作AE ∥BC 交DO 的延长线于点E ，连接CE ，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE 是菱形的是（ ）A ．AB ⊥AC B ．AB ＝ACC ．AC 平分∠DAED ．AB 2+AC 2＝BC 214．（2019•合肥模拟）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线BD ＝24，若过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，则CE 的长为（ ）A ．12013B ．10C ．12D ．2401315．（2019•合肥模拟）在小正方形组成网格图中，四边形ABCD 的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是（ ）A．AD∥BCB．DC＝ABC．四边形ABCD是菱形D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合16．（2018•合肥模拟）如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（）A．AH＝DFB．S四边形EFHG＝S△DCF+S△AGHC．∠AEF＝45°D．△ABH≌△DCF二．填空题（共4小题）17．（2020•肥东县一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AD的中点，以EC为边作正方形CEFG，则点D与点F之间的距离等于．18．（2019•包河区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AC＝8，点E是AB的中点，点F是对角线AC 上一点，△GEF与△AEF关于直线EF对称，EG交AC于点H，当△CGH中有一个内角为90°时，则CG 的长为．19．（2019•蜀山区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过矩形ABCD的对角线交点O作直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF，若△AEF是等腰三角形，则AE＝．20．（2018•长丰县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝三．解答题（共9小题）21．（2020•包河区二模）已知，如图，点P是▱ABCD外一点，PE∥AB交BC于点E．P A、PD分别交BC 于点M、N，点M是BE的中点．（1）求证：CN＝EN；（2）若平行四边形ABCD的面积为12，求△PMN的面积．22．（2020•蜀山区校级一模）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB 交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED；（2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由；（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH=√3，DM＝6时，求DH的长．23．（2020•庐江县一模）已知△ABC为等边三角形．点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF＝60°，连接CF．（1）如图1，当点D在线投BC上时，求证：AC＝CF+CD；（2）如图2，当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由，24．（2020•长丰县二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．（1）如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE＝BE+2CE；（2）在（1）的条件下，求CCCC的值；（3）如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG＝DF 时，求证：HG⊥AG．25．（2020•蜀山区校级模拟）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ． （1）证明四边形ADCF 是菱形；（2）若AC ＝4，AB ＝5，求菱形ADCF 的面积．26．（2019•庐阳区校级一模）如图，五边形ABCDE 内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE 的顶点A 、B 、C 、D 、E 把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）（1）填写下表： 五边形ABCDE 内点的个数 1 234……n分割成的三角形的个数5 7 9 ……（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE 内部有多少个点？若不能，请说明理由．27．（2019•瑶海区二模）如图，在凸四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠ABC +∠BCD ＝240°．设∠ABC ＝α．（1）利用尺规，以CD 为边在四边形内部作等边△CDE ．（保留作图痕迹，不需要写作法） （2）连接AE ，判断四边形ABCE 的形状，并说明理由．（3）求证：∠ADC=12α；（4）若CD＝6，取CD的中点F，连结AF，当∠ABC等于多少度时，AF最大，最大值为多少．（直接写出答案，不需要说明理由）．28．（2018•庐阳区二模）定义：只有一组对角为直角的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝1，BC＝3，AD＝2，则CD＝；（2）如图2，直角坐标系中，A（0，1），B（3，0）若第一象限内的整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数点）．（3）如图3，边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且四边形ABEF是准矩形．▱若tan∠DAF=23，求BE的长．▱连接AE，求AE的最小值．29．（2018•包河区一模）如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是外围大正方形减去正中间的正方形（阴影部分），而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，到第▱个图形的面积为4（2×1+4×12）＝16，第▱个图形的面积为4（5×1+5×12）＝30，第▱个图形的面积为4（9×1+6×12）＝48，……．根据上述规律，解答下列问题：（1）第▱个图形的面积为：4（×1+×12）＝；第▱个图形的面积为：4（×1+×12）＝；（2）第n个图形的面积为：4（×1+×12）（用含n的式子填空）；（3）上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第▱个图形的面积为（3√2）2﹣2，第▱个图形的面积为（4√2）2﹣2，第▱个图形的面积为（5√2）2﹣2，……再根据这个规律，完成下列问题：▱按此规律，第n个图形的面积为，（）2﹣2 （用含n的式子填空）；▱比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．2018-2020年安徽省中考数学复习各地区模拟试题分类（合肥专版）（10）——四边形参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．【解答】解：作点F 关于BC 的对称点M ，连接CM ，连接EM 交BC 于点P ，如图所示： 则PE +PF 的值最小＝EM ；∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且边长为152√2，∴AC ＝15，∴EC ＝10，FC ＝5＝AE ， ∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝5，∠ACB ＝∠BCM ＝45°， ∴∠ACM ＝90°，∴EM =√CC 2+CC 2=√102+52=5√5，同理：在线段AB ，AD ，CD 上都存在1个点P ，使PE +PF ＝5√5； ∴满足PE +PF ＝5√5的点P 的个数是4个； 故选：B ．2．【解答】解：如图作AH ∥BD ，使得AH ＝EF ＝2，连接CH 交BD 于F ，则AE +AF 的值最小，即△AEF 的周长最小．∵AH ＝EF ，AH ∥EF ，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵F A＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2√3，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH=√CC2+CC2=√(2√3)2+22=4，∴AE+AF的最小值4，∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF＝35°，∵∠EFG被AD平分，∴∠GFH＝∠CEF＝35°，∵∠G＝90°，∴∠GHF＝90°﹣35°＝55°，∴∠EHF＝180°﹣55°＝125°，故选：B．4．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，如图所示：设△BCM是旋转后的△ABE，∴△ABE≌△CBM，∴AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠BAE＝∠BCM＝90°，∴M、C、F三点共线，∵BF是∠EBC的角平分线，∴∠EBF＝∠FBC，∴∠ABE+∠EBF＝∠CBM+∠FBC，∴∠ABF＝∠FBM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFM，∴∠MBF＝∠BFM，∴BM＝FM，∵MF＝CM+CF＝AE+CF，BM＝BE，∴BE＝AE+CF，∵点E是AD边上的中点，∴AE=12AD＝1，由勾股定理得：BE=√CC2+CC2=√22+12=√5，∴CF＝BE﹣AE=√5−1，∵四边形ABCD是正方形，FG⊥AB，∴四边形BCFG与四边形ADFG都是矩形，∴CF＝BG=√5−1，GH∥AE，∴△BGH∽△BAE，∴CC CC =CC CC，即CC 1=√5−12， ∴GH =√5−12， 故选：A ．5．【解答】解：∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝540°，∴∠B ＝540°﹣∠A ﹣∠C ﹣∠D ﹣∠E＝540°﹣125°﹣60°﹣150°﹣90°＝115°．故选：D ．6．【解答】解：设BF ＝x ，∵四边形BEGF 是平行四边形，∴EG ＝BF ＝x ，∵EF ⊥BC ，∴∠BFE ＝90°，∵∠B ＝60°，∴∠BEF ＝30°，∴BE ＝2x ，AE ＝8﹣2x ，∵EG ∥BC ，∴CC CC =CC CC，即8−2C 8=C 10， 解得：x =207，∴AE ＝8﹣2x ＝8﹣2×207=167，故选：C ．7．【解答】解：连接PM 、PN ．∵四边形APCD ，四边形PBFE 是菱形，∠DAP ＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=12∠APC＝60°，∠EPN=12∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝4﹣2a，PM＝a，PN=√3（2﹣a），∴MN=√C2+[√3(2−C)]2=√4(C−32)2+3，∴a=32时，点M，N之间的距离最短，最短距离为√3，故选：A．8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D；A．AE＝CF时，由AE∥CF，AE＝CF，可以得出四边形AECF是平行四边形；B．AF＝EC时，不能得出四边形AECF一定为平行四边形；C．∠DAF＝∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；D．∠AFD＝∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；故选：B．9．【解答】解：连接CF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC＝4，P为AC中点，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AP＝PC＝2∵四边形ADEF是正方形∴AD＝AF，∠DAF＝90°∵∠BAC＝∠DAF＝90°∴∠BAD＝∠CAF，且AB＝AC，AD＝AF ∴△ABD≌△ACF（SAS）∴∠ABD＝∠ACF＝45°∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°∴CF⊥BC∴点F在过点C且垂直BC的直线上，∴当PF⊥CF时，PF的值最小∴PF的最小值=2√2=√2故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2×12×10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4√5，b＝2√5，即AD＝4√5，故选：D．11．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∵AE⊥DE，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAE+∠EDC＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠ADE＝∠EDC，即∠ADC＝2∠ADE，故选：C ．12．【解答】解：A 、∵∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B 、∵∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝∠BCD ，∴∠BAD +∠ABC ＝∠ADC +∠BCD ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不符合题意；C 、∠DAB ＝∠BCD ，AB ＝CD 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；D 、∵∠ABD ＝∠CDB ，∠AOB ＝∠COD ，OA ＝OC ，∴△AOB ≌△COD （AAS ），∴OB ＝OC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C ．13．【解答】解：∵AE ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCD ，∠OEA ＝∠ODC ，∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，在△OAE 和△OCD 中，{∠CCC =∠CCCCCCC =CCCCCC =CC，∴△OAE ≌△OCD （AAS ），∴OD ＝OE ，∴四边形ADCE 是平行四边形，添加AB⊥AC时，∵AD是△ABC的中线，∴AD=12BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项C正确；添加AB2+AC2＝BC2，可得到AB⊥AC，同选项A可判断四边形ADCE是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形ADCE是菱形；故选：B．14．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD＝12，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA=√CC2−CC2=√13−12=5，∴AC＝10，∵菱形的面积＝AB•CE=12 AC•BD，即13×CE=12×10×24，解得：CE=120 13．故选：A．15．【解答】解：A、由图形可知：BC和AD是连接7×2的图形的对角线，即AD∥BC，故本选项错误；B、设小正方形的边长是1，由勾股定理得：DC=√32+72=√58，AB=√58，即AB＝CD，故本选项错误；C 、由图形可知：AD ∥BC ，CD ∥AB ，即四边形ABCD 是菱形，但BC =√22+72=√53≠AB ，故本选项正确；D 、将边AD 向右平移3格，再向上平移7格就与边BC 重合，正确，故本选项错误； 故选：C ．16．【解答】解：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠ADE ＝∠CDE ＝45°，AB ＝BC ，∵BE ＝BC ，∴AB ＝BE ，∵BG ⊥AE ，∴BH 是线段AE 的垂直平分线，∠ABH ＝∠DBH ＝22.5°，在Rt △ABH 中，∠AHB ＝90°﹣∠ABH ＝67.5°，∵∠AGH ＝90°，∴∠DAE ＝∠ABH ＝22.5°，在△ADE 和△CDE 中{CC =CCCCCC =CCCC =45°CC =CC，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠DAE ＝∠DCE ＝22.5°，∴∠ABH ＝∠DCF ，在Rt △ABH 和Rt △DCF 中{∠CCC =∠CCCCC =CC CCCC =CCCC，∴Rt △ABH ≌Rt △DCF ，∴AH ＝DF ，∠CFD ＝∠AHB ＝67.5°，∵∠CFD ＝∠EAF +∠AEF ，∴67.5°＝22.5°+∠AEF ，∴∠AEF ＝45°，故ACD正确； 如图，连接HE ，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，故选：B．二．填空题（共4小题）17．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE=12 AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝2，∠EDC＝90°，∴CE=√CC2+CC2=√1+2=√5，∴sin∠ECD=CCCC=1√5=√55，∵∠ECD+∠CED＝90°，∠CED+∠HED＝90°，∴∠ECD＝∠HED，∵sin ∠HED =CC CC =CC 1， ∴√55=CC 1， ∴DH =√55，∴EH =√CC 2−CC 2=2√55，∵四边形ECG 1F 1是正方形，四边形ECG 2F 2是正方形， ∴EF 1＝EC =√5，EF 2＝EC =√5，∴HF 1＝EF 1﹣EH =√5−2√55=3√55，HF 2＝EF 2+EH =√5+2√55=7√55， ∴DF 1=√CC 2+CC 12=(55)2+(355)2=√2，DF 2=√CC 2+CC 22=(55)2+(755)2=√10，故答案为：√2或√10．18．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝90°，BC ＝AD ＝4，∵AC ＝8，∴CD ＝AB =√CC 2−CC 2=4√3，∠BAC ＝30°， ∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2√3，当△CGH 中有一个内角为90°时，分两种情况： ▱当∠CGH ＝90°时，分两种情况：a ．如图1所示：则EG ⊥CD ，四边形BCGE 是矩形，∴CG ＝BE =12AB ＝2√3≠AD ，∴不存在；b ．如图2所示：连接CE ，则AE ＝GE ＝BE ，在Rt △CGE 和Rt △CBE 中，{CC =CC CC =CC， ∴Rt △CGE ≌Rt △CBE （HL ），∴CG ＝BC ＝4；▱当∠CHG ＝90°时，如图3所示：则∠AHE ＝90°，∴EH =12AE =√3，AH =√3EH ＝3，∴CH ＝AC ﹣AH ＝8﹣3＝5，由折叠的性质得：GE ＝AE ＝2√3，∴GH ＝GE ﹣EH =√3，∴CG =√CC 2+CC 2=√25+3=2√7；综上所述，当△CGH 中有一个内角为90°时，则CG 的长为4或2√7；故答案为：4或2√7．19．【解答】解：连接AC ，如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ＝6，OA ＝OC ，AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，{∠CCC =∠CCCCC =CCCCCC =CCCC，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：▱当AE ＝AF 时，如图1所示：设AE ＝AF ＝CF ＝x ，则BF ＝6﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：42+（6﹣x ）2＝x 2，解得：x =133，即AE =133；▱当AF ＝EF 时，作FG ⊥AE 于G ，如图2所示：则AG =12AE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，则BF ＝6﹣x ，AG =12x ，∴12x ＝6﹣x ，解得：x ＝4； ▱当AE ＝FE 时，作EH ⊥BC 于H ，如图3所示：则CH ＝DE ＝6﹣x ，设AE ＝FE ＝CF ＝x ，则BF ＝6﹣x ，CH ＝DE ＝6﹣x ，∴FH ＝CF ﹣CH ＝x ﹣（6﹣x ）＝2x ﹣6，在Rt △EFH 中，由勾股定理得：42+（2x ﹣6）2＝x 2，整理得：3x 2﹣24x +52＝0，∵△＝（﹣24）2﹣4×3×52＜0，∴此方程无解；综上所述：△AEF 是等腰三角形，则AE 为133或4； 故答案为：133或4．20．【解答】解：▱当点F 在线段BM 上，AE ＝FM 时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形， 则有t ＝9+3t ﹣12，解得t =32，▱当F 在线段CM 上，AE ＝FM 时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则有t ＝12﹣9﹣3t ，解得t =34，综上所述，t =34或32s 时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：34或32 三．解答题（共9小题）21．【解答】解：（1）∵PE ∥AB ，∴∠BAM ＝∠EPM ，∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，∴△ABM≌△PEM（AAS），∴AB＝PE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴PE∥CD，PE＝CD，∴四边形PEDC是平行四边形，∴EN＝CN；（2）过P作PH⊥AD于H，交BC于G，由（1）知，△ABM≌△PEM，∴AM＝PM，∵AD∥BC，∴PG＝HG=12 PH，∵BM＝EM，EN＝CN，∴MN=12BC=12AD，∵平行四边形ABCD的面积为12，∴AD•GH＝12，∴△PMN的面积=12MN•PG=12×12AD×HG=14×12＝3．22．【解答】解：（1）∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB＝ED；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G，∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）知，AB＝GM，∴AB＝DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）如图3取线段CH的中点I，连接MI，∵BM ＝MC ，∴MI 是△BHC 的中位线，∴MI ∥BH ，MI =12BH ，∵BH ⊥AC ，且BH ＝AM ，∴MI =12AM ，MI ⊥AC ，∴∠CAM ＝30°．设DH ＝x ，则AH =√3x ，AD ＝2x ，∴AM ＝6+2x ，∴BH ＝6+2x ，∵四边形ABDE 是平行四边形，∴DF ∥AB ，∴CC CC =CC CC ， ∴√3√3C =C6+2C 解得x ＝1+√7或1−√7（负值舍去）， ∴DH ＝1+√7．23．【解答】（1）证明：∵菱形AFED ，∴AF ＝AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝60°＝∠DAF ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAF ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，{CC =CC CCCC =CCCC CC =CC，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴CF ＝BD ，∴CF +CD ＝BD +CD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CF +CD ．（2）解：AC ＝CF +CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CF ﹣CD ， 理由是：由（1）知：AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝60°，∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAF +∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，{CC =CC CCCC =CCCC CC =CC，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD ＝CF ，∴CF ﹣CD ＝BD ﹣CD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CF ﹣CD ．24．【解答】解：（1）如图1，延长BC 交AF 的延长线于点G ，∵AD ∥CG ，∴∠DAF ＝∠G ，又∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠G ＝∠EAF ，∴EA ＝EG ，∵点F 为CD 的中点，∴CF ＝DF ，又∵∠DF A ＝∠CFG ，∠F AD ＝∠G ，∴△ADF ≌△GCF （AAS ），∴AD ＝CG ，∴CG ＝BC ＝BE +CE ，∴EG ＝BE +CE +CE ＝BE +2CE ＝AE ；（2）设CE ＝a ，BE ＝b ，则AE ＝2a +b ，AB ＝a +b ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2＝AE 2，即（a +b ）2+b 2＝（2a +b ）2，解得b ＝3a ，b ＝﹣a （舍），∴CC CC =CC +C =14；（3）如图2，连接DG ，∵CG ＝DF ，DC ＝DA ，∠ADF ＝∠DCG ，∴△ADF ≌△DCG （SAS ），∴∠CDG ＝∠DAF ，∴∠HAF ＝∠FDG ，又∵∠AFH ＝∠DFG ，∴△AFH ∽△DFG ，∴CC CC =CC CC ，又∵∠AFD ＝∠HFG ，∴△ADF ∽△HGF ，∴∠ADF ＝∠FGH ，∵∠ADF ＝90°，∴∠FGH ＝90°，∴AG ⊥GH ．25．【解答】（1）证明：如图，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE ＝DE ，BD ＝CD ，在△AFE 和△DBE 中，{∠CCC =∠CCCCCCC =CCCC CC =CC，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；∴AF ＝DB ．∵DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC =12BC ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：连接DF ，∵AF ∥BC ，AF ＝BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∴DF ＝AB ＝5，∵四边形ADCF 是菱形，∴S =12AC •DF ＝10．26．【解答】解：（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2＝7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2＝9个三角形；有4个点时，内部分割成5+2×3＝11个三角形； …以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n﹣1）＝（2n+3）个三角形；故答案为：11；（3）能．理由如下：由（1）知2n+3＝2019，解得n＝1008，∴此时五边形ABCDE内部有1008点．27．【解答】（1）解：如图1所示：▱分别以C、D为圆心，以CD从为半径画弧，两弧交于点E，▱连接DE、CE，△CDE即为所求；（2）解：如图2所示：四边形ABCE是菱形；理由如下：∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，∵AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°，∴AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝240°﹣60°＝180°，∴AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形；（3）证明：连接AC，如图3所示：∵四边形ABCE是菱形，∴AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，∴点E是△ACD的外接圆圆心，∴∠AEC＝2∠ADC，∴∠ABC＝2∠ADC，∴∠ADC=12α；（4）解：如图4所示：当A、E、F三点共线时，AF的值最大＝AE+EF，∵△CDE是等边三角形，F是D的中点，∴EF⊥CD，DF＝3，∠DEF=12∠CED＝30°，∴EF=√3DF＝3√3，∴AF＝AE+EF＝6+3√3，由（2）得：AE＝CE＝CD＝DE＝6，∴∠EAD＝∠EDA=12∠DEF＝15°，∴∠ADC＝15°+60°＝75°，由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°，∴当∠ABC等于150°时，AF最大，最大值为6+3√3．28．【解答】解：（1）∵准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝1，BC＝3，AD＝2，∴AC =√CC 2+CC 2=√1+3=√10，∠ADC ＝90°，∴CD =√CC 2−CC 2=√(√10)2−22=√6，故答案为：√6；（2）如右图所示，直角坐标系中，A （0，1），B （3，0）若第一象限内的整点P 使得四边形AOBP 是准矩形，则点P 的坐标是（1，2）或（2，2），故答案为：（1，2）或（2，2）；（3）▱∵边长为3的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且四边形ABEF 是准矩形， ∴AD ＝DC ＝BC ＝3，∠AFB ＝90°，∵tan ∠DAF =23，∴DF ＝2，∴CF ＝1，∵∠DAF +∠AFD ＝90°，∠AFD +∠EFC ＝90°，∴∠EFC ＝∠DAF ，∴tan ∠EFC =23，∴CE =23，∴BE ＝BC ﹣EC ＝3−23=73；即BE 的长是73； ▱设CF ＝x ，BE ＝y ，∵∠DAF ＝∠CFE ，∠ADF ＝∠FCE ，∴△ADF ∽△FCE ，∴CC CC =CC CC ， 即3C =3−C3−C ，化简，得y =13(C −32)2+94，∴当x =32时，y 取得最小值，此时y =94，∵∠ABE ＝90°，∴AE =√CC 2+CC 2，∴当BE 取得最小值94时，AE 取得最小值，此时AE =√32+(94)2=154， 即AE 的最小值是154．29．【解答】解：（1）第▱个图形的面积为：4（14×1+7×12）＝70； 第▱个图形的面积为：4（20×1+8×12）＝96；故答案为14，7，70，20，8，96；（2）第n 个图形的面积为：4{[2+3+4+…+n +n +1]×1+（n +3）×12}； 故答案为2+3+4+…+n +n +1，n +3；（3）▱按此规律，第n 个图形的面积为，[（n +2）√2]2﹣2 （用含n 的式子填空）； ▱猜想：4{[2+3+4+…+n +n +1]×1+（n +3）×12}＝[（n +2）√2]2﹣2． 证明：右边＝2n 2+8n +6，左边＝4×2+C +12×C +2n +6 ＝2n 2+8n +6，∴右边＝左边，∴4{[2+3+4+…+n +n +1]×1+（n +3）×12}＝[（n +2）√2]2﹣2． 故答案为（n +2）√2．。