2020年中考数学第二次模拟测试试卷一、选择题1．若|a|＝﹣a，则a一定是（）A．正数B．负数C．正数或零D．负数或零2．某日李老师登陆“学习强国”APP显示为共有16900000名用户在线，16900000这个数用科学记数法表示为（）A．1.69×106B．1.69×107C．0.169×108D．16.9×1063．如图，点A、O、B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（）A．∠2﹣∠1B．∠2﹣∠1C．（∠2﹣∠1）D．（∠1+∠2）4．下列计算正确的是（）A．B．4a2﹣a2＝3C．2x2•6x4＝12x6D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b25．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．球6．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上7．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+8．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值可以是（）A．51B．45C．40D．569．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝10．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．211．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题13．若tan（α﹣15°）＝，则锐角α的度数是．14．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．15．如图，AB和CD是圆柱ABCD的两条高，现将它过点A用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与CD的交点为P，连结AP，已知该圆柱的底面半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则tan∠BAP的值为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有．（填序号）三．解答题17．先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣1＝0．18．解不等式组19．为了解某区八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该区八年级学生部分学生进行调查．已知D组的学生有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表．一学生睡眠情况分组表（单位：小时）组别睡眠时间A x≤7.5B7.5≤x≤8.5C8.5≤x≤9.5D9.5≤x≤10.5E x≥10.5二学生睡眠情况统计图根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）试求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a的值及a对应的扇形的圆心角度数；（2）如果睡眠时间x（时）满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格．已知该区八年级学生有3250人，试估计该区八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？（3）如果将各组别学生睡眠情况分组的最小值（如C组别中，取x＝8.5），B、C、D 三组学生的平均睡眠时间作为八年级学生的睡眠时间的依据．试求该区八年级学生的平均睡眠时间．20．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE＝2∠CAB，∠P＝∠E．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD＝20D，PB＝9，求⊙O的半径及tan∠P的值．21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．（1）若a＝2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？（2）已知M为AC上一点，若当t＝时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P 的运动速度．（3）在P、Q两点运动过程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1•x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝】23．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN ＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A 逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．参考答案一、选择题（每题3分，满分36分1．若|a|＝﹣a，则a一定是（）A．正数B．负数C．正数或零D．负数或零【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．解：∵a的相反数是﹣a，且|a|＝﹣a，∴a一定是负数或零．故选：D．2．某日李老师登陆“学习强国”APP显示为共有16900000名用户在线，16900000这个数用科学记数法表示为（）A．1.69×106B．1.69×107C．0.169×108D．16.9×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将16900000用科学记数法表示为：1.69×107．故选：B．3．如图，点A、O、B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（）A．∠2﹣∠1B．∠2﹣∠1C．（∠2﹣∠1）D．（∠1+∠2）【分析】由图知：∠1和∠2互补，可得∠1+∠2＝180°，即（∠1+∠2）＝90°；而∠1的余角为90°﹣∠1，可将上式代入90°﹣∠1中，即可求得结果．解：由图知：∠1+∠2＝180°；∴（∠1+∠2）＝90°；∴90°﹣∠1＝（∠1+∠2）﹣∠1＝（∠2﹣∠1）．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．B．4a2﹣a2＝3C．2x2•6x4＝12x6D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、单项式乘以单项式、平方差公式分别计算得出答案．解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、4a2﹣a2＝3a2，故此选项错误；C、2x2•6x4＝12x6，正确；D、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣a2+b2，故此选项错误；故选：C．5．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．球【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱．故选：A．6．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：C．7．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解．解：∵在Rt△ABC中，BC＝AB•tanα＝a tanα，在Rt△ABD中，BD＝AB•tanβ＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ．故选：C．8．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值可以是（）A．51B．45C．40D．56【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．解：根据题意得：5≤＜5+1，解得：46≤x＜56，故选：A．9．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2化成一般形式是：2x2+（2﹣2b）x+（b2﹣1）＝0，△＝（2﹣2b）2﹣8（b2﹣1）＝﹣4（b+3）（b﹣1）＝0，解得：b＝﹣3或1．∵反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0∴b＜﹣1，∴b＝﹣3．则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：B．10．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF＝r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF＝60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH ∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝，∴EF＝，∵AO＝2OI，∴OI＝，CI＝r﹣＝，∴，∴，∴＝，即则的值是．故选：C．11．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，再求出DF＝CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF＝∠BDC＝60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD＝120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM＝∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH＝AM，对应角相等可得∠BAM＝∠DAH，然后求出∠MAH＝∠BAD＝60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④正确．解：在菱形ABCD中，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，∵BE＝CF，∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF，在△BDF和△DCE中，，∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；∴∠DBF＝∠EDC，∵∠DMF＝∠DBF+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝∠BDC＝60°，∴∠BMD＝180°﹣∠DMF＝180°﹣60°＝120°，故②小题正确；∵∠DEB＝∠EDC+∠C＝∠EDC+60°，∠ABM＝∠ABD+∠DBF＝∠DBF+60°，∴∠DEB＝∠ABM，又∵AD∥BC，∴∠ADH＝∠DEB，∴∠ADH＝∠ABM，在△ABM和△ADH中，，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AH＝AM，∠BAM＝∠DAH，∴∠MAH＝∠MAD+∠DAH＝∠MAD+∠BAM＝∠BAD＝60°，∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；∵△ABM≌△ADH，∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，又∵△AMH的面积＝AM•AM＝AM2，∴S四边形ABMD＝AM2，故④小题正确，综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D．二．填空题（满分12分，每小题3分）13．若tan（α﹣15°）＝，则锐角α的度数是75°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．解：∵tan（α﹣15°）＝，∴α﹣15°＝60°，∴α＝75°．故答案为：75°．14．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围k ＜1且k≠0．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．15．如图，AB和CD是圆柱ABCD的两条高，现将它过点A用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与CD的交点为P，连结AP，已知该圆柱的底面半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则tan∠BAP的值为1．【分析】根据题意得出线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的，线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的，即可得出AE的长，进而求出即可．解：过点P作PE⊥AB于点E，∵如图所示：截去部分的体积是该圆柱体积的，∴线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的，∴线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的，∴PC＝DC＝6×＝2，∴AE＝DP＝6﹣2＝4，∵圆柱的底面半径为2，则PE＝4，∴tan∠BAP＝＝＝1．故答案为：1．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有③④．（填序号）【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac 的取值范围，根据图象和x＝2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据x＝1的函数值可以确定b＜a+c是否成立．解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x＝1＝﹣，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误；根据图象知道当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④正确．故答案为：③④．三．解答题17．先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣1＝0．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+3x﹣1＝0即可解答本题．解：＝＝＝＝3x2+9x，∵x2+3x﹣1＝0，∴x2+3x＝1，∴原式＝3x2+9x＝3（x2+3x）＝3×1＝3．18．解不等式组【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．19．为了解某区八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该区八年级学生部分学生进行调查．已知D组的学生有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表．一学生睡眠情况分组表（单位：小时）组别睡眠时间A x≤7.5B7.5≤x≤8.5C8.5≤x≤9.5D9.5≤x≤10.5E x≥10.5二学生睡眠情况统计图根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）试求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a的值及a对应的扇形的圆心角度数；（2）如果睡眠时间x（时）满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格．已知该区八年级学生有3250人，试估计该区八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？（3）如果将各组别学生睡眠情况分组的最小值（如C组别中，取x＝8.5），B、C、D 三组学生的平均睡眠时间作为八年级学生的睡眠时间的依据．试求该区八年级学生的平均睡眠时间．【分析】（1）根据各部分的和等于1即可求得a，然后根据圆心角的度数＝360°×百分比求解即可．（2）根据频数＝总数×百分比可求得八年级睡眠时间合格的学生人数．（3）根据平均数的定义解决问题即可．解：（1）：a＝1﹣（35%+25%+25%+10%）＝5%；a对应扇形的圆心角度数为：360°×5%＝18°．（2）由题意：3250×（25%+35%）＝1950（人），答：估计该区八年级学生睡眠时间合格的共有1950人．（3）八年级学生的平均睡眠时间＝＝8.5（小时），答：八年级学生的平均睡眠时间为8.5小时．20．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE＝2∠CAB，∠P＝∠E．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD＝20D，PB＝9，求⊙O的半径及tan∠P的值．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB，又∠POE＝2∠CAB，则∠COD＝∠EOD，根据等腰三角形的性质得∠ODC＝∠ODE＝90°，即CE⊥AB；（2）由CE⊥AB，∠P＝∠E，得到∠P+∠PCD＝∠E+∠PCD＝90°，得到∠OCD+∠PCD＝∠PCO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（3）设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC2＝OD•OP，即（3x）2＝x•（3x+9），解出x，即可得圆的半径；同理可得PC2＝PD•PO＝（PB+BD）•（PB+OB）＝162，可计算出PC，然后在Rt △OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．【解答】（1）证明：连接OC，∴∠COB＝2∠CAB，又∠POE＝2∠CAB．∴∠COD＝∠EOD，又∵OC＝OE，∴∠ODC＝∠ODE＝90°，即CE⊥AB；（2）证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E，∴∠P+∠PCD＝∠E+∠PCD＝90°，又∠OCD＝∠E，∴∠OCD+∠PCD＝∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC2＝OD•OP，即（3x）2＝x•（3x+9），解之得x＝，∴⊙O的半径r＝，同理可得PC2＝PD•PO＝（PB+BD）•（PB+OB）＝162，∴PC＝9，在Rt△OCP中，tan∠P＝＝．21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．【分析】（1）根据函数图象的数据和题意，可以求得甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙；（2）根据（1）中V甲、V乙和函数图象中的是可以计算出m的值；（3）根据题意，可以计算出甲车无故障时，甲乙两车相遇时所用的时间，从而可以求得可以提前多长时间两车相遇．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．（1）若a＝2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？（2）已知M为AC上一点，若当t＝时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P 的运动速度．（3）在P、Q两点运动过程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1•x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝】【分析】（1）当a＝2时，可以得到BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10；而△BPQ 与△BDA相似，对应关系不确定，故需分△BPQ∽△BDA和△BQP∽△BDA两种情况讨论；根据相似三角形的性质建立方程，即可求出对应t的值．（2）当t＝时，可以得到BP＝a，DQ＝，BQ＝，BA＝10．由四边形PQCM是平行四边形可得PQ∥AC，从而有△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质建立方程，即可求出点P的运动速度．（3）由线段PQ平分△ABD的面积得S△BPQ＝S△ABD，从而有＝×6×8，整理得：at2﹣6at+60＝0．由题可知该方程有正的小于6的实数根．由根与系数的关系及根的判别式就可确定a的范围．【解答】解（1）当a＝2时，BP＝2t，DQ＝1×t＝t．∵D是BC中点，BC＝12，∴BD＝DC＝6．∴BQ＝6﹣t．①当△BPQ∽△BDA时，如图1，则有＝．∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10，∴＝．解得：t＝．②当△BQP∽△BDA时，如图2，则有＝．∵BP＝2t，BD＝6，BQ＝6﹣t，BA＝10，∴＝．解得：t＝．∴当a＝2时，t＝秒或秒时，△BPQ与△BDA相似．（2）当t＝且四边形PQCM是平行四边形时，如图3，则有PQ∥AC，BP＝a，DQ＝1×＝，BQ＝6﹣＝．∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC．∴＝．∵BP＝a，BA＝10，BQ＝，BC＝12，∴＝．解得：a＝2.5．∴点P的速度是2.5厘米/秒．（3）作PE⊥BC，垂足为E，如图4，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝8．∵PE⊥BC，AD⊥BC，∴△BEP∽△BDA．∴＝．∵AD＝8，BP＝at，BA＝10，∴＝．∴EP＝．∴S△BPQ＝BQ•EP＝（6﹣t）•at＝．∵线段PQ平分△ABD的面积，∴S△BPQ＝S△ABD．∴＝××6×8．整理得：at2﹣6at+30＝0．（a＞0）由题可得：△＝（﹣6a）2﹣4a×30≥0．解得：a≥．此时t1•t2＝＞0，t1+t2＝6＞0．∴方程at2﹣6at+60＝0有两个小于6的正实根．∴点P的速度应大于或等于厘米/秒．23．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN ＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A 逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．【分析】（1）由抛物线解析式求点A、B、C坐标，由OD＝OC求点D坐标．设点P 横坐标为t，可用待定系数法求得用t表示的直线PB解析式，即能用t表示PB与y轴交点G的坐标，进而用t表示DG的长．以DG为界把△PBD分成左右两边的△PDG与△BDG，则以DG为底计算易求得△PBD面积与t的二次函数关系式，求对称轴即得到△PBD最大时t的值，进而得到点P坐标．求得∠ABP＝30°，即x轴平分∠PBQ，故点P、Q关于x轴对称，得到点Q坐标，进而得到直线AQ解析式，发现∠QAB＝∠PAB ＝60°．作直线AP，可得直线AQ与AP夹角为60°，过点M作MH⊥AP于H，即构造出特殊Rt△MAN，得到MH＝AM．把点D平移到D'，使DD'∥MN且DD'＝MN，构造平行四边形MNDD'，故DN＝D'M．所以DN+MN+AM可转化为MN+D'M+MH．易得当点D'、M、H在同一直线上时，线段和会最短，即过D'作D'K ⊥AP于K，D'K的值为所求．根据平移性质求D'坐标，求直线D'K与直线AP解析式，联立方程组求得K的坐标，即求得D'K的长．（2）抛物线平移不改变开口方向和大小，再求得点E坐标和点A坐标，可用待定系数法求平移后的解析式，进而求得点F．由旋转性质可得△ABB'与△AEE'为等边三角形，求出点E'、B'坐标，B'F⊥x轴且△B'E'F为含30°的直角三角形．把点R从E'移动到F的过程，发现∠RB'T一定小于90°，不可能成为矩形内角，故只能是∠B'RT或∠B'TR ＝90°．点T可以在E'F上，也可以在B'F上，画出图形，根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长，即能求点S坐标．解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K∵y＝＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0）∵x＝0时，y＝＝﹣∴C（0，﹣），OC＝∴OD＝OC＝，D（0，）设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G∴解得：∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝∴∠ABP＝30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q（﹣2，）∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝∴∠QAI＝∠PAI＝60°∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝∴MH＝AM∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M＝DN∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短∵DD'∥MN，D（0，）∴∠D'DJ＝30°∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝∴D'（1，）∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y＝x+d，把点D'代入得：+d＝解得：d＝∴直线D'K：y＝x+把直线AP与直线D'K解析式联立得：解得：∴K（﹣，）∴D'K＝∴DN+MN+AM的最小值为（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E∴E（0，）∴tan∠EAB＝∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），∴BE∥PA，BE＝PA，∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），∴×9﹣3m+＝0解得：m＝∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E''∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+∴S（，3+）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝∴S（﹣，）③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，2）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．。