等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：*
1
2,n n
a q q n n N
a 0且，q 称为公比
2、通项公式：
1
1110,0
n n
n
n
a a a q
q
A B
a q
A B q
，首项：
1a ；公比：q
推广：n m
n m
n n n m
n m m
m
a a a a q q
q
a a 3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：
2
A
ab
或A
ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（
（2）数列n
a 是等比数列
2
1
1
n
n
n
a a a 4、等比数列的前
n 项和n S 公式：
（1）当1q
时，1
n S na （2）当
1q
时，11111n
n n
a q a a q S q
q
11''11n
n
n
a a q
A A B
A B
A q
q
（,,','A B A B 为常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1
(0)
{}
n n
n n
n n
a a qa q q a a a 或
为常数，为
等比数列
（2）等比中项：
2
1111
(0)
{}
n
n n n n
n a a a a a a 为等比数列
（3）通项公式：0
{}n
n
n a A B
A B
a 为等比数列
6、等比数列的证明方法：
依据定义：若
*
1
2,n n
a q q n n N
a 0且或1
{}
n n n a qa a 为等比数列
7、等比数列的性质：（2）对任何*
,m n N
，在等比数列
{}
n a 中，有
n m
n m a a q。

（3）若
*
(,,,)m n
s
t m n s t
N ，则n m
s t a a a a 。

特别的，当
2m n k 时，得
2n m
k
a a a
注：
121
32
n n
n
a a a a a a 等差和等比数列比较：
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
定义d
a a n n
1
)
0(1
q
q a a n
n 递推公式d a a n
n 1
；md
a a n
m
n
q
a a n n
1；
m
n m n q
a a 通项公式d
n a a n )1(1
1
1n n q
a a （0,1q a ）
中项
2
k
n k
n
a a A
（0,,*
k
n
N k
n ）
)
0(k
n
k n k
n
k n a a a a G （0,,*
k
n
N k
n ）
前n 项和
)
(21n n a a n S d
n n na S n
2
)1(1
)
2(111)
1(111q q
q a a q
q a q na S n n
n
重要性质
)
,,,,(*
q p
n
m
N q p n m a a a a q
p
n m )
,,,,(*
q p n m
N q p n m a a a a q
p n m
例1．等比数列
{}
n a 中，1
9
64a a , 3
7
20a a ,求11a .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的
二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标
1937，可以利用性质
可求出
3a 、7a ，再求11a .
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）
.
举一反三：
【变式1】{}为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【变式2】{}为等比数列，＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【变式3】已知等比数列
{}n a ，若1
23
7a a a ，1238a a a ，求n a 。