ql2 8
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
F
F F
F
基本形式梁的约束反力
(1)悬臂梁
FRx MR FRy
(2)简支梁 静定梁
FRx FRy1 FRy2
(3)外伸梁
FRx FRy1 FRy2
3、静定梁和超静定梁
静定梁 梁的支反力均可由平面力系的三个独立 的平衡方程求出。
超静定梁 梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
MA
A
FAy
FAx
B
FB
FS M
§10-3 剪力方程和弯矩方程 • 剪力图和弯矩图
剪力方程
FS FS ( x)
M M ( x)
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变 化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0

F
y
FB
B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 称为剪力 C A x m x FS FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
8a/3
M 5qa2/3
qa/3 x x qa2/18
d M x FS x 来复核弯矩值： 也可通过积分 dx 5 2 M C M A FS x d x 0 FS a qa AC 3
ql FA FB 2
FB
x
2 2 x qlx qx FS(x) M x FA x qx 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图 q
A FS ql 2
l
ql FS x qx 2 B qlx qx2 M x 2 2
FS,max
M l/2
ql 2
FB
5 FS FA qa 3
x
qa/3 x
FA
FS(x)
1、 校核剪力图 CB段 q=常量<0
Me =3qa2 q
A
FA
剪力图为向右下方 FS 倾斜的斜直线 因C点处无集中力 作用，剪力图在该 处无突变，故
a
x
C 3a FB
B
x
5qa/3
8a/3 q
MC
qa/3 x
5 x-a FSC FA qa 3 FSC FS(x) 1 FSB FSC q(2a) qa 即FSB FB 3
A
3qa 2 q 2a a FA 3a 0
FB 3a 3qa q 2a 2a 0
2
1 FB qa 3
1、 校核剪力图 AC段 A
Me =3qa2 q FA
FS x a 5qa/3 8a/3 M(x) A C 3a
B x
q=0
剪力图为水平直线 剪力值
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲 对称轴 纵对称面 F1
F2
B
FB
A FA 对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面 相重合，因而一定是平面弯曲。 梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
Ⅱ、梁的计算简图
1、支座的基本形式 (2)固定铰支座和可动铰支座
固定铰 支座 可动铰 支座
(1)固定端
2、常见静定梁 悬臂梁：一端固定、 另一端自由的梁 简支梁：一端固定铰支、 另一端可动铰支的梁 外伸梁：具有一个或两 个外伸部分的简支梁
max
。
例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关 系校核图示的剪力图和弯矩图。 Me =3qa2 q B A x C a 3a 5qa/3 F
S
8a/3 M 5qa2/3
qa/3 x
x qa2/18
4qa2/3
Me =3qa2
A
q
B x
FA
a
C 3a
FB
解：支反力为
MB 0
M
0 5 FA qa 3
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
F
y
0 0
FS x FS x d FS x q x d x 0
q ( x)
dx M x d M x M x FS x d x q x d x 0 2 d M x FS x d M x FS x d x dx
l
B
qx2 M x 2
FS
x M
FS,max ql
l/2
ql2 2
M max
ql 2
2
ql2 8
x
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 q
A FA x B
l
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) F x F qx ql qx S A A FA
x x
Fa b l
M
Fa l
a
F C l
b
A
FS
Fb l
B
b>a时
FS,max
Fa l
x 发生在AC段
Fb l
M max
x
Fab l
M
Fab l
发生在集中荷 载作用处
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 MC2 0 M2 F a 0 FA 2 F S2
第十章 弯曲内力
§10-1 弯曲的概念及梁的计算简图
•弯曲实例
上图：水闸立柱 下图：跳板
Ⅰ、弯曲的概念 受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。 Me Me F
A
B
Me
Me
A
F
B
变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。 梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
(3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
M 3 Fa
FB
截面4—4
M4
FS4
4C4
4
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2Fa
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3 —3 2F Fa 4 —4 2F -2Fa
内力
2 —2 2F -Fa
A l x B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
x qx 0 x l M x qx 2 2
2、 作剪力图和弯矩图 A
ql
FS x qx
M
d FS x q x d x
d FS x q x dxC略去源自y O q(x)F
Me x
q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系
d FS x q x dx d M x FS x dx
d 2 M x q x 2 dx
l Me l x a x l CB段： M x FA x M e l
3、作剪力图和弯矩图
A a C l Me l b B
Fs M
Me FS x l x
Mea l x
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Meb l
思考：对称性与反对称性 FA F A
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C l
FS
Fb l
Fb FS1 x l Fa B FS2 x l Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l