M
O1
1
1
dq
r
2
M
但各自绕中性轴转过一个角 度，形成一夹角，为 dq ；
设中性层曲率半径为 r。 取坐标轴：y 轴，z 轴。
O2
2
O z
y 轴与截面对称轴重合； z 轴与中性轴重合(位置未定)。
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y
距中性层为 y 处纵向纤维 ab的变形：
1 O1
dx
2 O2
9
弯曲前： ab = O1O2 = dx
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6
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
α d D
π 64 D
4
π 64
d
4

πD
4
(1 α )
4
64
D
πD
4
C d z
Wz
Iz ymax
(1 α ) D 2
4
64
πD
3
(1 α )
4
32
y
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二、平行轴定理
21
已知：A、Iz0、Iy0 求：Iz、Iy
解： y = y0 + a z = z0 + b Cy0z0：过形心直角坐标系
∫AdA = A
∴ Iz = Iz0 + a2A
同理得： Iy = Iy0 + b2A
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即：截面对任一坐标轴 z 的惯性矩 Iz，等于对其平行形心轴 z0 的惯性矩 Iz0 加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
已知：d、m
求：Iz 解：
I z0
22
z

64 d
4
m

64
m )
2
令 Wz = Iz /ymax ，称 Wz 为横截面的抗弯截面系数。
∴
σmax M Wz
四、公式适用条件 1. 纯弯曲：平面假设条件下； 2. 弹性范围内，且 Ec = Et 3. 对称弯曲，y 轴为梁横截面的纵向对称轴。 ∴ 公式
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1 ρ

M EI z
、
σ
My Iz
、
σmax
1. 定 义： Iz = ∫A y2dA，为图形A 对 z 轴的惯性矩。 Iy = ∫A z2dA，为图形A 对 y 轴的惯性矩。
18
2. 分析讨论
(1) dA>0， y2、z2>0， ∴ Iz 、Iy >0，单位：m4，cm4，mm4 (2) 若 A = A1+ A2 + · + An · · 则： Iz = IzA1+ IzA2 + · + IzAn = S IzAi · · Iy = IyA1+ IyA2 + · + IyAn = S IyAi · · 为组合图形的惯性矩公式。
2
C
D
FS F 梁在弯曲变形的同时产生剪切变形。 ㊉ 如简支梁的AC、BD段。 在梁的CD段中：FS = 0，M = 常量 M 即只有M 存在，没有剪力作用，称 为纯弯曲。
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㊀
x
–F
㊀
x –Fa
–Fa
§11–2 对称弯曲正应力
纯弯曲：FS = 0，梁横截面上没有t，只有s 。 F 一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究 纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。
σmax M Wz 20 10
3 4
1.85 10
108.1MPa
(4)计算梁轴的曲率半径r
由
1
r

M EI z
有 r
EI z M

200 10 1.66 10 20 10
3
9
5Leabharlann 166m上海应用技术学院
§11–3 惯性矩与平行轴定理
一、简单截面的惯性矩
σE y ρ (b )
ε y ρ
10
(a)
M
O1
1
dq
r
2 O2
M
a
1
y
b
2
为横截面上正应力分布规律。
O z
y
式中 E、r 为常数，
(b)式表示：横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离 y 成 正比。 即横截面上正应力沿高度呈线性分布。
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M
O z y
O1
1
dq
r
2
O2
11
M
a
1
箱形截面的惯性矩：
由组合图形的惯性矩公式：
I z I z A1 I z A2
1 Wz Iz ymax 12
1 12
3
B b
bh
3
20
BH
3
1 12
H
3 3
C h
z
BH H 2
1 12
bh
3

1 6H
( BH bh )
y
空心圆截面的惯性矩：
I z I z A1 I z A2

Dab ab

ydq
rdq

y
r
O z
为横截面上正应变分布规律。
y (a) 式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离 y 成正比。 在一定的 M 作用下，r 为常数， y |， | 。
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中性层下方，y 为正值， 也为正值，表示为拉应变； 中性层上方，y 为负值， 也为负值，表示为压应变。 2. 物理关系 ——正应力分布规律 纵向纤维 间无相互挤压，ab单 向受拉(压)， 由s =E ，将 (a)式带入，得
d C z0 y b z
∴ I z I z 0 m2 A

d m
4
2

4
d
2
d
2
( d 4 16
1
2
已知：h、b
求：Iz 解： I I a 2 A z z0


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h
h
2
C z0
bh ( ) bh 12 2
1 3 bh
3
1
3
y
求：图示图形对形心轴 z 的惯性矩 Iz。单位：cm
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
σE y ρ (b )
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
1
5
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
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O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
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§11–1 引 言
一、梁横截面上的内力和应力的对应关系 t = f1 (FS) 切应力仅与剪力有关 s = f2 (M) 正应力仅与弯矩有关 二、纯弯曲概念(Pure Bending) 若 FS = FS(x) 同时存在， M = M(x) 称为横力弯曲或剪切弯曲。 A a F F a B
My
E
y
r
Ey
EI z
表示：梁横截面上的 s 与 M 成正比，与 Iz 成 Iz 反比，沿截面高度呈线性分布。 中性轴上：y =0 ， s = 0 ； 上、下表层： y |max ， s |max 。
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s 的方向可由梁的变形直接判定： s (–)
M M
15
s (+)
∴ I p A r 2dA A ( y 2 z 2 )dA

A y dA A z dA 2 2
Iz I y

32
d
4
d
1 2 Ip
C
∵ Iz = Iy
Wz
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∴ Iz I y
d
4

64
d
4

64
d 2


32
z dA
r y
z
d
3
y
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矩形截面的惯性矩： 取微面积 dA：bdy ∴ I z A y 2dA
Wz 1 12 bh
3
b/2 h/2
b/2
19
h/2 h / 2
2 y bdy
2
1 12
bh
3
C
h/2 y