通常依此条件进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
、设计截面尺寸；
、设计载荷。
例1 下图为一空心圆杆，内外径分别为： d=40mm，D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定 C点的许用挠跨比[y/L]=0.00001，B点的许用转角
[]=0.001弧度，试核此杆的刚度。
L=400mm a=0.1m
一、挠曲线近似微分方程
f M>0
1 M z (x)
EIz
f (x) 0 x
1
f (1
(x) f 2 )32
f
( x)
f
M<0
f (x) M z (x) EI z
f (x) 0
x
f (x) M z (x) EI z
挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成 如下形式： EIf (x) M (x) 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
64
64
B
P1L2 16EI
P2 La 3EI
0.4 210 1880
( 400 16
200 ) 3
0.423104
yC
P1L2a 16EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
5.19106 m
校核刚度
ymax L
y L
ymax 5.19 106 m y 105 m
max 0.423104 0.001
D 0
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构
件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截
面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边
界条件、连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺
点：计算较繁琐。
§6－3 叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起 的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变 形的代数和。
EIf (x) M (x)
EIf (x) M (x)dx C1
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
2.位移边界条件
P
P
A
C
B
D
支点位移条件：
fA 0 fB 0
fD 0
连续条件： fC fC 光滑条件： C C
物理方程——变形
与力的关系
B
f
Bq8qEL4I ;
f BRB
RB L3 3EI
RB 补充方程
q0
qL4 RB L3 0 8EI 3EI
RB
3qL 8
B
求解其它问题（反力、
应力、变形等）
用v表示。与y同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用
表示，顺时针转动为正，反之为负。
y
C
v
C1
二、挠曲线
P x
变形后，轴线变
为光滑曲线，该曲线
称为挠曲线。其方程
为：v =f (x)
三、转角与ห้องสมุดไป่ตู้曲线的关系：
小变形
tg df f
(1)
dx
§6 － 2 梁的挠曲线近似微分方程
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2(P2 ) n(Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2(P2 ) fn(Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
§6－4 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件
ymax L
y L
max
其中[]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。
P2a3
3EI
P1L2a 16EI
3
B
ML 3EI
LaP2 3EI
y3C
3Ba
P2 La2 3EI
叠加求复杂载荷下的变形
B
P1L2 16EI
P2 La 3EI
yC
P1L2a 16EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
I (D4 d 4 ) 3.14 (804 404 ) 1012 188108 m4
§6－5 简单超静定梁的求解方法
1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡 方程相结合，求全部未知力。
A EI L
A L
q0 建立静定基
B
确定超静定次数， 用反力代替多余约束所 q0 得到的结构——静定基。
B RB
A L
A A
+
=
q0
几何方程——变形 协调方程
B
RB
yB yBq yBRB 0
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
L=400mm a=0.1m
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
=
A
D
B
C
P1=1kN
+
A
D
B
C
P2=2kN
A
D
B
C
P2=2kN
=
a
B
C
P2
+
P2=2kN
M
A
D
B
C
解：查表求简单载荷变形
1B
P1L2 16EI
2B 0
y1C
y2C
1B a
第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程 §6–3 叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6–5 简单超静定梁的求解方法
§6－1 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁 （变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。