ymax
D d 0.701 m 2 2


285 MPa
3. 弯矩计算
M EI z
单辉祖:工程力学
1
E bd 3 1.141 N m M 12
EI z
24
8
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面得交线－中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴
横截面间绕中性轴相对转动
单辉祖:工程力学 9
对称弯曲正应力公式
公式的建立
几何方面:
( y)
( y )d d y d
s ( y) E

y
(a)
静力学方面:
( y)
y

s ( y ) E ( y )
sdA 0 ysdA M A A
结论 中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
M （ I z － 惯性矩） EI z （EI z － 截面弯曲刚度） 1
M My 正应力公式： s ( y) s max Iz Wz （Wz － 抗弯截面系数）
§2 对称弯曲正应力
弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式 例题
单辉祖:工程力学
6
弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
单辉祖:工程力学
7
试验现象 （纯弯与正弯矩作用） 横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平 面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假 设 单辉祖:工程 力学
s t,max
单辉祖:工程力学
22
例 3-2 已知：钢带厚 d = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 smax 与 M
解：1. 问题分析
已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力 应力～变形关系：
s E
y

s max E
单辉祖:工程力学
应用条件： s max s p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
12
一些易混淆的概念 对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态 中性轴与形心轴 中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴 截面弯曲刚度与抗弯截面系数 弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2 dA M
1
Iz
A
y2dA －惯性矩


M (d) EI z
(d)(a)
My s max max Iz
My s ( y) Iz
Iz Wz －抗弯截面系数 ymax
单辉祖:工程力学
M s max Wz
11
总 结 假设 平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面
ymax

内力～变形关系：
M EI z
单辉祖:工程力学
1
M
EI z

23
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 与 M
2. 应力计算
s max E
ymax

ymax
s max E
d 3 1.0 10 m 2
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yC 2 yC A1 A2
bd
d db d b 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
ห้องสมุดไป่ตู้
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
3. 变形计算
M EI z
1
EI z 166 m M
15
单辉祖:工程力学
§3 惯性矩与平行轴定理
惯性矩
简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
单辉祖:工程力学
16
惯性矩
惯性矩
I z A y dA
2
[L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
I y z dA
2 A

Iz Iz i
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
I p A dA A ( y z )dA
2
2 2
Ip I z I y
I p d 4 Iz 2 64
单辉祖:工程力学
Ip 2I z
d 2 d Wz 64 d 32
4 3
19
平行轴定理
平行轴定理
建立 I z 与 I z0 的关系
I z A y 2dA
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
i 1
n
n
单辉祖:工程力学
Iy
I
i 1
yi
17
简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
bh I z A y dA - h/2 y bdy 12
2
h/ 2 2
3
2 I z bh bh Wz ymax 12 6 h 2
单辉祖:工程力学 18
3
简单截面惯性矩
圆形截面惯性矩
例 题
例 3-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
解：1. 弯矩计算 2. 形心位置计算
Sz
单辉祖:工程力学
M B Fl 6000 N m
由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
单辉祖:工程力学 13
例 题
例 2-1 梁用№18 工字钢 制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
试计算：最大弯曲正应力smax ，梁轴曲率半径
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z 1.66 10 5 m 4
I z A y0 a dA
2
2 I z A y0 dA 2a A y0 dA Aa2
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
20
I z I z0 Aa 2
同理得：
单辉祖:工程力学
I y I y0 Ab2
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
单辉祖:工程力学
3
弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力
弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的t 对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
单辉祖:工程力学 4
变形形式与本章内容
变形形式
基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲 组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合
弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
本章主要内容
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 弯曲强度计算与合理强度设计 双对称截面梁非对称弯曲 应力与强度
5
弯拉（压）组合应力与强度
单辉祖:工程力学
单辉祖:工程力学
Wz 1.85 10 4 m 3
14
I z 1.66 10 5 m 4
Wz 1.85 10 4 m 3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 smax 与
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m
M s max 108.1 MPa Wz