1 2
w1 | x1 a w2 | x2 a
代入上面的式子
工程力学
得到转角方程和挠度方程 Fb EI q1 (3x12 b 2 l 2 ) AC段 6l Fb 3 EI w1 x1 (b 2 l 2 ) x1 6l
y a A EI x1
F b C B x


FA
x2 l
工程力学
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数 y Fb 2 EI q1 x1 C1 AC段 2l A Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l FA CB段 Fb 2 F EI q 2 x2 ( x2 a) 2 C 2 2l 2 Fb 3 F EIw 2 x2 ( x2 a ) 3 C 2 x2 D2 6l 6 边界条件:
CB段
x2 l
Fab (l a) qB 6 EIl
若
Fb(3l 2 4b 2 ) a 关键点： 分段列弯距方程 寻找边界条件
P
A
B
C
D
分段 AB、BC、CD三段，六个积分常数 边界条件 f A 0 q A 0 f B左 f B右 f c左 fc右
Fb AC段 M 1 x1 (0 x1 a) l Fb CB段 M 2 x 2 F ( x 2 a ) (a x2 b) l
工程力学
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故 y F 应对AC和CB分别计算 a b Fb AC段 EI w1 x1 A EI C B x l x1 Fb 2 EI q1 x1 C1 FA FB x2 2l l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l Fb CB段 EI w2 x2 F ( x2 a ) l Fb 2 F EI q 2 x2 ( x2 a) 2 C 2 2l 2 Fb 3 F EIw 2 x2 ( x2 a ) 3 C 2 x2 D2 6l 6
x1 0 wA 0
xl
F a EI x1 x2 l C b B x
FB
wB 0
Fb 2 D1 D2 0 C1 C 2 (l b 2 ) 6l 连续条件: 由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角 和挠度应相等。 即
q1 | x a q 2 | x a
2
d w | 2 | 1 dx k ( x) ( x) [1 ( dw) 2 ] 3 2 dx
工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1 M ( x) v 1．力学关系： ( x ) EI 2．数学关系：
d 2w | 2 | 1 dx ( x) [1 ( dw ) 2 ]3 2 dx
q A左q A右
工程力学
绘制挠曲线的方法： 1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区，
3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和 挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 wB 。
F
A x l
工程力学
工程力学
工程背景 （三）航天航空
我国的 长征火箭家族
工程力学
工程背景 （三）航天航空
太阳能电池帆板
工程力学
梁在载荷作用下，要有足够的强度，它必须满 足强度条件，但是，是否梁满足了强度条件之 后，它就能够正常地工作呢？ 往往并非如此。
桥式起重机的大梁
工程力学
齿轮传动轴
工程力学
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦 荣获2001年 “ 美国建筑师学 会 室内建筑奖 ”
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
上海南浦大桥
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
桥面结构
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
澳门桥
工程力学

工程与工程力学
高层建筑与大型桥梁
工程力学
例4-6 如图所示，简支梁受集中力F 作用，已知EI 为常量。试求B 端转角和跨中挠度。
y a A x1 x2 l EI C F b B x
工程力学
y a A x1 EI
F b C B x
FA
x2 l
FB
（1）求约束反力 Fb Fa FA FB l l （2）列出弯矩方程
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故 应对AC和CB分别计算
工程力学
y
F
x
F ( x l ) 2 Fl 2 q 2 EI 2 EI
wB
F ( x l ) 3 Fl 2 x Fl 3 w 6 EI 2 EI 6 EI
A x l
EIz
B
qB
（6）求B点的挠度和转角 在自由端 ， x = l
Fl 2 qB 2 EI
Fl 3 wB 3EI
B
w | x 0 0 w | x 0 0 w | x l 0
q | x 0 0 q | x 0 0
q |x l 0
A l x
xl
工程力学
连续条件
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
工程力学
§12-1 引言
弯曲变形的描述 梁 对称面 梁轴线变形 变形特点：变形前为直线的梁轴线，变 形后为曲线。这根曲线称为挠 曲线。
工程力学
一、挠度及转角的概念
1．梁的挠曲线 轴线变形后形成的光 滑连续曲线
v
q
B1
q
A
x
w
B
x
2．梁变形的度量 梁横截面绕中性轴转动的角度，符号：q ， 1)转角： 正负：逆时针转动为正，反之为负；
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形 水平位移 略去
截面转角
dw q q tgq f ( x) dx

工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1.挠曲线近似微分方程的推导 1 M ( x) k ( x) (12 1) ( x) EI z
高等数学：对曲线 v=f(x) 其曲率为
EIw ( M ( x)dx)dx Cx D
的已知条件来确定。
C、D为积分常数，可由梁上某些点的位移
工程力学
边界条件
在约束处的转角或挠度可以确定
F
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
EI zq M ( x)dx C
A x l
F
B
x0 x0
工程力学
应用条件： 1.小变形 2.最大应力不超过材料的比例极限，即 满足虎克定律
3.W向上为正
工程力学
§12-3 计算梁位移的积分法
EIz为常数，挠曲线近似微分方程为
d w EI z M x 2 dx d dw EI z ( ) M x dx dx
2
dw EI z d ( ) M x dx dx
代入上面两式 qB 1 2 1 x Fl C 0 Fl 3 D 0 2 6 l 1 3 1 2 C Fl D Fl 6 2 （5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程
A EIz B
wB
F ( x l ) 2 Fl 2 q 2 EI 2 EI
F ( x l ) 3 Fl 2 x Fl 3 w 6 EI 2 EI 6 EI
EIz
B
wB
qB
工程力学
y
F
x
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
A x l
EIz
B
wB
M ( x) F ( x l )
（2）挠曲线近似微分方程 EIw M ( x) F ( x l ) （3）积分
qB
EI q EI w F ( x l )dx C
F A l a x1 b x2 B
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
EI zq M ( x)dx C
w |x1a w |x 20
q |x1a q |x 20
工程力学
中间铰 支座A
f A 0
q A左 q A右 0
中间铰A
f A左 f A右
工程力学
dw EI z d ( dx ) M x dx dw EI z M x dx C dx
EI z dw ( M x dx C )dx
EI z w [ M x dx]dx Cx D
——转角方程 ——挠曲线方程
EIw' M ( x)dx C EIq
主讲教师：门玉涛
弯曲变形
问题
1、近似挠曲线微分方程表达？如何 求解？ 2、挠度是否发生在弯矩最大的位置？
3、刚度条件？
4、静定基，变形比较法。
工程背景 （一）建筑结构
浦 东 开 发 区
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
浦 江 两 岸
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦
楼 高 420.5m 共 88 层
A x
q
B1
q