●对哈密顿量的分析
ˆ 1和H ˆ 2的相对影响依赖于原子 序数 H
轻原子，前者重要，后者可视作微扰 重原子反之；一般原子，二者都较重要→
ˆ H ˆ0 H ˆ2 H ˆ1 H
ˆi ˆ0 H ˆ 2 h H
i 1
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Z
2 [ 2 m i i 1
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一、正规积与收缩
●收缩的定义 两算符乘积的收缩＝乘积－正规积
总共只有四种收缩
→收缩是个数
0 | AB | 0 0 | AB N ( AB) | 0 AB
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二、Wick定理
●n个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积 在真空态上的平均值
j i i j j i j i j i j j i
i
)
代入双粒子位能算符矩阵元表达式→
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三、Wick定理的应用
●哈密顿量在粒子数表象中的的表达式 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解
i
i 1
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a a | n1n2 ni ni | n1n2 ni
i i
当ni 0 当ni 1
ˆ N a a 的意义——粒子数算符
i i i
总粒子数算符
N 1




1
N
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三、Wick定理的应用
▲计算双粒子算符的矩阵元
0 | a a a a a a a a | 0
N 1 1 N




N 1
N
i j j 1
i j
(
二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式
N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态
一般表达式
N=3的例子
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三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性 费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系 态矢量内积；三个可能值
N=1的情况
N=2的情况
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示 态矢量表示 厄米共轭 反对易关系 利用对易关系计算
a | 1 1 11 0
2
Hale Waihona Puke Z Ze ri
2
(ri )li si ]
5
为单粒子算符之和，可分离变量求解
二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力
ˆ 1的存在使得H ˆ E不能严格求解 H
因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分 →可取一球对称的单粒子位函数之和代替
ˆi U (ri )] e U (ri ) ˆ [h H r
分离变量求解
i 1
Z
ˆ 0 (1,2,, N ) E (1,2,, N ) H
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二、中心场近似
●原子核物理中的独立粒子模型
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§7.2 N个全同粒子体系的波函数
——零级近似波函数
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第七章 二次量子化方法
２００４年１２月
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1
引
言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →因而发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
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§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
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一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象
引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算 这种方法就叫做二次量子化方法
16
§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
▲单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况 ▲双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元 有一个态不相同的情况
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§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫
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一、多粒子体系的哈密顿量
●考察序数为 Z 的原子中 Z 个电子构成的体系 在非相对论近似下，哈密顿量为
2 2 2 Ze ˆ 0 [ 2 m i r ] H i i 1 Z 2 e ˆ H1 rij rij | ri r j i j Z
Z
|
ˆ 2 (ri )li si H
i
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4
一、多粒子体系的哈密顿量
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二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符
N个粒子体系的动能算符
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符
N个粒子体系总的相互作用位能算符
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件 ●产生算符的定义
单个粒子的状态
N个粒子的状态
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义
作用于真空态的效果
产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
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2
Z
Z
Z
i 1
i j
ij
i 1
U (ri )的选取应使二者之差可视为微扰
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→中心场近似
6
二、中心场近似
● 中心场近似的实质 将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用 地在一个共同的中心场中运动——零级近似
ˆi U (ri )] ˆ 0 [h 零级近似哈密顿量 H
1 2




▲计算单粒子算符和双粒子算符矩阵元
0 | a a a a a a | 0
N 1 1 N



列表→ i i
i 1
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N
三、Wick定理的应用
▲计算单粒子算符的矩阵元（续）
0 | a a | t | a a a a | 0
当n+m=奇数，为零
当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和
例： 0 | a1 a 2 a 3 | 0


0 | a a a a | 0
1 2 3 4


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三、Wick定理的应用
●利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元
0 | a2 a1a a a a a a | 0
本征函数
本征值 ▲用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒子 数无关，粒子数只表现在态矢量上
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i
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1 2 i N
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a | n1n2 ni () P ni | n1n2 1 ni
i
ni 0或1，i 1,2,3,
P nr
r 1
a | n1n2 ni () P 1 ni | n1n2 ni 1
二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 在粒子数表象下用上述力学量计算的结果
与此完全一致
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§7.5 维克定理
Wick Theorem