1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
(1) t =1.0 s 时, 物体所处的位置;
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
所以运动方程为
x = 0.08cos⎜⎛ π t + π ⎟⎞(m)
⎝2 3⎠
(1)t =1.0 s 时, 物体所处的位置:
x
=
0.08 cos⎜⎛
π
×1.0
+
π
⎞ ⎟
=
−0.069(m)
解: 设
x = Acos(ωt + ϕ )
旋转矢量表示法
由已知条件:ห้องสมุดไป่ตู้得
2π 2π π ω= = =
T 42
将初始条件
x0 = x t=0 = 0.04m
代入方程得
即 ϕ=±π 3
0.04 = 0.08cosϕ
由旋转矢量法应取ϕ = π 舍去 − π
3
3
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
旋转矢量表示法
A2
ϕ2 ϕ1
A1
x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
(1) t =1.0 s 时, 物体所处的位置;
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
⎝2
3⎠
旋转矢量表示法
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
− 0.04 = 0.08 cos⎜⎛ π t + π ⎟⎞ ⎝2 3⎠
cos ⎜⎛ π t + π ⎟⎞ = − 1 ⎝2 3⎠ 2
π π 2π
4π
t + = 舍去
233
3
得
t
=
2 π
⎢⎣⎡arccos⎜⎝⎛ −
旋转矢量表示法
初相位讨论
旋转矢量表示法
三、相位差
设两个振动的表达式分别为
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
则频率相同时它们的相位差为
∆ϕ = (ωt +ϕ2 ) − (ωt +ϕ1) = ϕ2 −ϕ1
(1) ϕ2 = ϕ1, 同相位; (2) ϕ2 − ϕ1 = π , 反相位.
旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法