振动系统 总能量
• 能量法求谐振动的振幅
机械能守恒：
1 1 2 1 2 mv kx kA2 2 2 2
• 能量法求谐振动的周期 两边对时间求导：
d2 x a 2 2 x T 2 dt
自学 教材
P381 [例6]、[例7]
/ P.12 [例5]
例：能量法求谐振动的周期
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 由 x、v 的符号确定 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成 r A 所在的象限：
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
2
mg
d 2 sin 0 2 dt
2
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动
运动 cos( t ) m 方程：
J 周期：T 2 mgh
2
由初始条件决定
由小角度摆动都是谐振动，可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
练 习
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
r 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
r 作x = -12cm处的旋转矢量 A r A
-12
r A0
o 12 24 x(cm)
t min
1 T 0.5 s 6
练 习
两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在
1 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 x kx 0 2 2
m
mg=kx0
x
1 2 kx 2
1 1 2 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA 2 2 2
比较
水平放置的弹簧振子
竖直悬挂的弹簧振子
回复力 弹簧的弹力
准弹性力：弹力与重力的合力
F kx
2
x
振动系统机械能守恒：
E Ek Ep 1 1 v 1 mv 2 J kx2 c 恒量 2 2 R 2
2
两边对时间求导：
Jva mva kxv 0 2 R
d2 x kx 2 a 2 x 2 dt mJ R
得：
k ; 2 mJ R 2 m J R2 T 2 k
弹簧的伸长 势能
总能
F kx
离系统平衡位置的位移
kx2 2 准弹性势能，
kx2 2
弹性势能
重力势能和弹性势能的总和
1 1 1 mv 2 kx2 kA2 2 2 2
统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 准弹性势能: 1 Ep kx E kA2 2 （包括重力势能、弹性势能） 2
三.旋转矢量法
四.能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
1 1 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA2 2 2 2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
简谐运动的描述和特征 1）物体受线性回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2
d x 2 2）简谐运动的动力学描述 x 2 dt
3）简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反
弹簧振子
km 复摆
t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向
运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球
的振动相位差。（Ta=2Tb=2s）
四. 孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点
1 2 1 2 Εp kx kA cos 2 ( t 0 ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 Ek mv mA sin ( t 0 ) kA sin ( t 0 ) 2 2 2
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 sin 0 2 dt
令 2
g
l
得：
单摆运动的微分方程
sin

3
3!


5
5!

非线性微分方程 无解析解
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动 周期：
同学们好！
k
上 讲 内 容
一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x 2 x0 2 dt
x Acos(t 0 )
角频率 k m 二. 特征量
振幅
初相
v02 A x 2
2 0
v0 0 arctg ( ) x0
三. 旋转矢量法
思考：
写出质点 m 以角速率 沿 半径 A 的圆周匀速运动的 参数方程
y A 0
m

o
x
x A cos(t 0 )
y A sin(t 0 )
x、y 方向分运动均为简谐振动
x A cos(t )
量 A的
旋转矢
端点在 x 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
已知： k , R , J , m
求： T 解：以平衡位置为坐标原点
和零势点，向下为正，任意
m
时刻 t 系统的机械能为：
1 1 1 1 v 2 2 2 Ek mv J mv J 2 2 2 2 R
1 1 2 Ep kx Ep滑 轮 kx2 c 2 2
a x 单摆 g l
2
mgl
J
小
F kx
结：
x A cos( t 0 )
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
d2 x 2 x0 2 dt
角频率
k m
2 v 2 A x0 02
二.
特征量
振幅
初相
v0 0 arct g ( ) x0

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 E EP EK ( kx m v ) kx0 kA kx0 恒量 2 2 2 2 2
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
x0 EP=0
k
O
k x
1 1 2 2 Ep k ( x x0 ) mgx kx 0 2 2
质量为 0.10kg的物体，以振幅 1.0 102 m 作简谐振动，其最大加速度为 4.0m s 2,求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
练 习
解 （ 1）
amax A
T
2
amax 1 20s A
0.314 s
运动 cos( t ) m 方程：
由初始条件决定
l T 2 g
2
二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律
M J
d 2 m ghsin J 2 dt d 2 m gh sin 0 2
dt J
o
C
h
J
令
mgh J
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k
EP=0 x 0
mg-kx0=0 x
k m
O
k x
1 2 Ep k ( x x0 ) mg ( x x0) ) 2 1 k ( x x0 ) 2 kx0 ( x x0 ) 2 1 2 1 2 kx kx0 2 2
2π

（2） Ek ,max （ 3）
1 1 2 mvmax m 2 A2 2.0 103 J 2 2
3
E Ek ,max 2.0 10 J
Ep 时， Ep 1.0 10 J
3
（4） Ek
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
x 0.707 cm
摆动（单摆、复摆介绍）
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 建立如图自然坐标 受力分析如图 切向运动方程 n N

l

m
mg
F ma ml d2 mgsin ml 2 dt
d 2 g sin 0 2 dt l
{ v A sin( t )
0
x A cos( t 0 )
1 E Ep Ek kA 2 恒量 2
孤立谐振动系统机械能守恒
x, v
E-t 曲线
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 2 E kA 2 1 2 Ep kA cos 2 t 2